Chapitre 10 sur 14 · Les fractions
Chapitre 9. Résoudre des problèmes avec des fractions
Reconnaître le sens en jeu, estimer avant de calculer, puis vérifier : la méthode qui rend utilisables les huit chapitres précédents.
Savoir calculer ne suffit pas
Beaucoup de personnes savent additionner deux fractions et restent bloquées devant un énoncé de trois lignes. Ce n'est pas un problème de calcul : c'est un problème de traduction. Un énoncé décrit une situation, et il faut décider ce que les fractions y font avant d'écrire quoi que ce soit. Ce chapitre installe cette décision, qui est la vraie compétence du sujet.
Trois questions suffisent, et elles se posent toujours dans le même ordre. De quel tout parle-t-on ? Que fait la fraction dans cette situation ? Quel ordre de grandeur doit avoir le résultat ? Une fois ces trois réponses écrites, le calcul est presque toujours évident, et il est surtout contrôlable.
Ce chapitre ne demande aucune notion neuve. Il rassemble tout ce qui précède, et c'est pour cette raison qu'il vient en dernier.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, à faire dans cet ordre devant tout énoncé.
- Nommer le tout de référence d'un énoncé avant de calculer.
- Reconnaître lequel des trois emplois d'une fraction est en jeu.
- Estimer le résultat avant de le calculer.
- Contrôler un résultat en le confrontant à l'estimation faite au départ.
Ce qu'il faut avoir travaillé avant ce chapitre
Les trois emplois d'une fraction dans un énoncé
Le premier emploi est celui de la part d'un tout : la fraction décrit une portion d'un objet, d'une collection ou d'une quantité. Les indices sont des formules comme la moitié du terrain, les trois quarts des élèves, deux cinquièmes du stock. C'est le sens du chapitre 1, et le tout de référence est nommé juste après le mot de.
Le deuxième emploi est celui de la mesure : la fraction dit une longueur, une durée, une contenance, exprimée dans une unité qu'on a dû partager parce que les entiers ne suffisaient pas. Les indices sont des unités : trois quarts d'heure, cinq huitièmes de mètre, deux tiers de litre. Ces quantités s'additionnent et se soustraient comme des nombres, et c'est le sens des chapitres 2 et 6.
Le troisième emploi est celui de l'opérateur : la fraction agit sur un nombre pour en produire un autre. Les indices sont les mêmes que ceux du premier emploi, mais la question posée porte sur une quantité chiffrée : combien de billes, combien d'euros, combien de mètres. C'est le sens du chapitre 7, et le calcul se fait en deux temps.
Un même énoncé peut mêler deux emplois, et c'est le cas des problèmes en plusieurs étapes. La méthode ne change pas : on traite une étape à la fois, en renommant à chaque fois le tout de référence, qui peut avoir changé en cours de route.
Les mots de ce chapitre
Deux mots de méthode, employés partout dans ce livre.
- Estimer
- Donner un ordre de grandeur du résultat avant de le calculer, en s'appuyant sur des repères simples comme 1/2 et 1. Estimer n'est pas deviner : c'est encadrer le résultat entre deux bornes que l'on est sûr de tenir.
- Contrôler
- Comparer le résultat obtenu à l'estimation faite au départ. Un résultat hors des bornes annoncées est faux, et l'on n'a pas besoin de refaire le calcul pour le savoir.
Exemple travaillé. Un problème en deux étapes
Énoncé : une réserve contient 60 litres d'eau. On en utilise les deux cinquièmes le matin, puis un quart de ce qui reste l'après-midi. Combien de litres restent le soir ?
- Nommer le tout de la première étape
Le matin, le tout est la réserve pleine, soit 60 litres. C'est sur ce nombre que les deux cinquièmes agissent. - Estimer avant de calculer
Deux cinquièmes, c'est un peu moins que la moitié : on utilisera donc un peu moins de 30 litres le matin, et il restera un peu plus de 30 litres. L'après-midi on retire un quart de ce reste, donc environ 8 litres. Le résultat final doit tourner autour de 25 litres. - Calculer la première étape
60 partagé en cinq donne 12, et deux fois 12 font 24. On utilise 24 litres le matin, et il reste 60 moins 24, soit 36 litres. - Renommer le tout de la seconde étape
L'après-midi, le tout n'est plus la réserve pleine : c'est ce qui reste, soit 36 litres. C'est le point où la plupart des erreurs se produisent, parce que le tout a changé sans que l'énoncé le dise deux fois. - Calculer la seconde étape, puis contrôler
Un quart de 36 vaut 9 litres. Il reste donc 36 moins 9, soit 27 litres le soir. Ce résultat est proche des 25 litres estimés, et il est inférieur au reste du matin : le contrôle est passé.
Estimer, et pourquoi cela fait gagner du temps
Une estimation prend quelques secondes et attrape la majorité des erreurs. Elle repose sur trois repères déjà installés : une fraction est-elle plus petite ou plus grande que 1/2, plus petite ou plus grande que 1, et que se passe-t-il quand on l'applique à une quantité. Avec ces trois lectures, on encadre presque tous les résultats avant de les calculer.
Prenons une addition : 5/8 + 3/5. Chacune des deux fractions dépasse 1/2, donc leur somme dépasse 1. Chacune est plus petite que 1, donc leur somme est plus petite que 2. Le résultat doit donc tomber entre 1 et 2, et tout résultat hors de cette fourchette est faux. Ce contrôle ne coûte rien.
Prenons une soustraction dans un problème : si l'on retire les trois quarts d'une quantité, il en reste un quart, donc bien moins que la moitié. Un résultat proche de la quantité de départ signale une erreur de sens, pas une erreur de calcul, et le remède est de relire l'énoncé plutôt que de recompter.
Faites l'exercice en chemin ci-dessous avant de tourner la page ; son corrigé est en fin de volume.
Exercice en chemin du chapitre 9. Encadrer sans calculer
Posé au fil du chapitre : répondez sans poser le calcul.
- Entre quels entiers doit tomber le résultat de 7/6 + 3/4 ? Décomposez d'abord 7/6 en un entier plus une fraction, puis situez ce qui reste par rapport à 1.
Erreur de sens la plus coûteuse : garder le même tout de référence d'une étape à l'autre. Dans un problème où l'on retire une fraction, puis une fraction du reste, la seconde fraction porte sur le reste et non sur le tout de départ. Un moyen simple de ne pas s'y perdre consiste à écrire, à chaque étape, la phrase le tout est maintenant, suivie de la quantité concernée.
Exercice 9.1. Reconnaître le sens en jeu
Pour chaque énoncé, dites lequel des trois emplois est en jeu et nommez le tout de référence. Ne calculez pas.
- Un jardin de 240 mètres carrés est planté aux deux tiers. Quel emploi de la fraction est en jeu, et quel est le tout ?
- Une planche mesure 5/8 de mètre, une autre 3/4 de mètre. Quel emploi est en jeu, et que va-t-on faire de ces deux fractions ?
- Sur les 30 personnes inscrites à un atelier, les trois cinquièmes sont venues. Quel emploi est en jeu, et quelle sera la nature du résultat ?
Exercice 9.2. Estimer avant de calculer
Donnez d'abord un encadrement du résultat sans calculer, puis calculez et comparez.
- Entre quels entiers tombe 5/6 + 7/8 ? Calculez ensuite le résultat exact.
- Un réservoir de 80 litres est rempli aux trois quarts. Estimez, puis calculez la quantité d'eau qu'il contient.
- Une personne parcourt 2/5 d'un trajet de 45 kilomètres. Estimez, puis calculez la distance parcourue.
Exercice 9.3. Problèmes en plusieurs étapes
Cet exercice croise tout le livre. Écrivez à chaque étape quel est le tout de référence.
- Un sac contient 36 billes. On en donne le tiers, puis la moitié de ce qui reste. Combien de billes restent-elles ?
- Une cuve de 120 litres est remplie aux deux tiers ; on y ajoute ensuite 1/4 de sa contenance totale. La cuve déborde-t-elle ?
- Deux ateliers se partagent une commande : le premier réalise 3/8 de la commande, le second 2/5. Quelle fraction de la commande reste-t-il à faire ?
Auto-évaluation du chapitre 9
Répondez sans revenir en arrière, puis comparez au corrigé.
- Quelles sont les trois questions à se poser devant un énoncé, et dans quel ordre ?
- Dans un problème en deux étapes, sur quoi porte la fraction de la seconde étape ?
- À quoi sert une estimation, si l'on doit de toute façon faire le calcul exact ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- Devant un énoncé, on nomme le tout de référence avant d'écrire un calcul.
- Une fraction peut être une part d'un tout, une mesure, ou un opérateur qui agit sur une quantité.
- Une estimation faite avant le calcul encadre le résultat et attrape la plupart des erreurs.
- Dans un problème en plusieurs étapes, le tout de référence change en cours de route.
- Un résultat hors de l'encadrement annoncé est faux, et cela se sait sans refaire le calcul.