Chapitre 7 sur 14 · Les fractions
Chapitre 6. Additionner et soustraire
On n'additionne que des parts de même taille : ce chapitre installe l'addition à dénominateurs égaux, puis la mise au même dénominateur.
Additionner, c'est réunir des parts identiques
Deux cinquièmes plus un cinquième font trois cinquièmes, et cette phrase se comprend sans aucune règle : on réunit deux parts avec une part, toutes de la même taille, et l'on en obtient trois. Rien n'a changé sur la taille des parts, donc le dénominateur ne bouge pas. Seul le compte des parts change, donc seul le numérateur bouge.
Ce que l'on additionne, ce sont des cinquièmes, exactement comme on additionne des kilogrammes avec des kilogrammes. Personne n'additionnerait trois kilogrammes et deux litres pour obtenir cinq de quelque chose : il faut d'abord une grandeur commune. Les fractions obéissent à la même exigence, et toute la difficulté du chapitre tient là.
La conséquence se devine : quand les dénominateurs diffèrent, on ne peut rien additionner tant qu'on n'a pas fabriqué des parts de même taille. La méthode du chapitre 4 sert alors à réécrire les deux fractions dans une unité de comptage commune, et l'addition redevient un simple comptage.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, dont un seul demande un calcul préalable.
- Additionner et soustraire deux fractions de même dénominateur.
- Expliquer pourquoi le dénominateur ne s'additionne pas.
- Mettre deux fractions au même dénominateur pour pouvoir les additionner.
- Additionner une fraction et un nombre entier.
Ce qu'il faut avoir travaillé avant ce chapitre
Le cas des dénominateurs égaux
Quand les deux fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et l'on garde le dénominateur. Trois septièmes plus deux septièmes font cinq septièmes, ce qui s'écrit 3/7 + 2/7 = 5/7. La soustraction suit exactement la même logique : cinq septièmes moins deux septièmes font trois septièmes.
Deux résultats méritent d'être regardés au lieu d'être seulement écrits. Le premier est celui où le total atteint le dénominateur : 5/6 + 1/6 donne 6/6, c'est-à-dire le tout, c'est-à-dire 1. Le second est celui où le total dépasse le dénominateur : 5/6 + 4/6 donne 9/6, une fraction supérieure au tout, qu'on décompose au besoin en 1 + 3/6, puis qu'on simplifie en 1 + 1/2. Ces deux cas ne sont pas des exceptions, ce sont des additions ordinaires dont le résultat mérite d'être lu.
Additionner un nombre entier et une fraction ne demande rien de plus. Deux touts plus trois cinquièmes s'écrivent 2 + 3/5, et cette écriture est déjà un résultat. On peut aussi tout dire en cinquièmes : deux touts valent dix cinquièmes, donc le total vaut treize cinquièmes.
Exemple travaillé. Calculer 2/3 + 1/4
Énoncé : additionner ces deux fractions, et donner le résultat sous sa forme la plus courte.
- Constater que l'addition directe est impossible
Les parts ne sont pas de même taille : des tiers d'un côté, des quarts de l'autre. On ne peut pas les compter ensemble tant qu'elles diffèrent. - Chercher une unité de comptage commune
Il faut un nombre qui soit multiple de 3 et de 4. Le produit des deux dénominateurs, 12, convient toujours, et c'est ici le plus petit. On comptera donc en douzièmes. - Réécrire les deux fractions en douzièmes
Pour passer de 3 à 12, on multiplie par 4 : 2/3 devient 8/12. Pour passer de 4 à 12, on multiplie par 3 : 1/4 devient 3/12. - Additionner les parts, maintenant comparables
Huit douzièmes plus trois douzièmes font onze douzièmes. Le calcul s'écrit 8/12 + 3/12 = 11/12, et le dénominateur ne bouge pas. - Vérifier le résultat par un ordre de grandeur
2/3 dépasse 1/2, et 1/4 est plus petit que 1/2 : le total doit donc dépasser 1/2 sans atteindre 1. Onze douzièmes est un peu moins que le tout : le résultat est plausible. On vérifie enfin qu'il ne se simplifie pas, ce qui est le cas, 11 n'ayant pour diviseurs que 1 et lui-même.
Choisir un dénominateur commun sans le chercher longtemps
Trois façons de trouver un dénominateur commun coexistent, et elles donnent toutes un résultat juste. La première consiste à regarder si l'un des deux dénominateurs est déjà un multiple de l'autre : pour 1/2 et 3/8, huit est un multiple de deux, donc on écrit tout en huitièmes et le travail est presque fait. La deuxième consiste à lister les multiples de chacun jusqu'à en trouver un commun. La troisième consiste à multiplier les deux dénominateurs, ce qui marche toujours.
Le seul inconvénient de la troisième méthode est qu'elle donne parfois de grands nombres, et donc un résultat à simplifier à la fin. Ce n'est pas une faute : un résultat exact sous une écriture longue vaut mieux qu'un résultat faux sous une écriture courte. La simplification se fait ensuite, tranquillement, avec le geste du chapitre 4.
Menez maintenant un calcul vous-même : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.
Exercice en chemin du chapitre 6. Le calcul 3/4 + 1/6
Posé au fil du chapitre : choisissez vous-même votre dénominateur commun.
- Calculez 3/4 + 1/6 en choisissant votre dénominateur commun, puis comparez ce que donnent le produit des dénominateurs et le plus petit multiple commun : le résultat final doit être identique.
Le cas le plus courant de l'erreur annoncée au chapitre 1 se produit ici : additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui donnerait 1/2 + 1/3 égale 2/5. Le contrôle qui l'élimine tient en une phrase : 1/2 est déjà la moitié du tout, donc ajouter quelque chose doit dépasser la moitié. Or 2/5 est plus petit que 1/2. Le résultat était donc faux avant d'être vérifié en détail, et cette lecture prend deux secondes.
Exercice 6.1. Additionner et soustraire à dénominateur égal
Calculez, et écrivez le résultat sous sa forme la plus courte quand c'est possible.
- Calculez 3/8 + 4/8.
- Calculez 7/10 moins 3/10.
- Calculez 5/6 + 1/6, et dites ce que vaut ce résultat.
Exercice 6.2. Mettre au même dénominateur
Écrivez la réécriture de chaque fraction avant de calculer. Le raisonnement compte autant que le résultat.
- Calculez 1/2 + 3/8.
- Calculez 2/5 + 1/3.
- Calculez 5/6 moins 1/4.
Exercice 6.3. Additions qui dépassent le tout
Cet exercice croise ce chapitre avec le chapitre 2 : décomposez les résultats supérieurs au tout.
- Calculez 5/6 + 4/6, puis décomposez le résultat en un entier plus une fraction inférieure au tout.
- Calculez 3/4 + 3/4, et dites entre quels entiers se situe le résultat.
- Un tonneau est rempli aux 2/5 de sa contenance, puis on y verse l'équivalent des 3/4 de cette contenance. Le tonneau déborde-t-il ?
Auto-évaluation du chapitre 6
Répondez sans revenir en arrière, puis comparez au corrigé.
- Pourquoi le dénominateur ne s'additionne-t-il pas quand on additionne deux fractions ?
- Quel est le premier geste devant une addition de fractions dont les dénominateurs diffèrent ?
- Quelle vérification rapide permet de repérer un résultat d'addition manifestement faux ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- On n'additionne que des parts de même taille : le dénominateur doit être le même avant tout calcul.
- À dénominateur égal, on additionne les numérateurs et l'on garde le dénominateur.
- Quand les dénominateurs diffèrent, on réécrit les deux fractions avec un dénominateur commun, puis on additionne.
- Le produit des dénominateurs donne toujours un dénominateur commun, quitte à simplifier le résultat ensuite.
- Un ordre de grandeur pris avant le calcul repère la plupart des erreurs sans avoir à tout recommencer.