Chapitre 3 sur 14 · Les fractions
Chapitre 2. Compter avec des parts
La part devient une unité de comptage : on la répète, on dépasse le tout, et l'on encadre toute fraction entre deux nombres entiers consécutifs.
Une nouvelle unité pour compter
Rien n'oblige à s'arrêter au tout. Une fois qu'un tout a été partagé en trois parts égales, la part obtenue existe pour elle-même : c'est un tiers, et rien n'empêche d'en prendre un, deux, trois, quatre ou dix. Compter en tiers revient à changer d'unité de comptage, exactement comme on passe des unités aux dizaines. Deux tiers, c'est un tiers plus un tiers. Quatre tiers, c'est un tiers répété quatre fois.
Cette manière de voir change tout. Tant qu'une fraction est vue comme une part de gâteau, prendre quatre tiers d'un gâteau est absurde : il n'y a pas quatre tiers dans un gâteau. Vue comme un comptage, la même écriture ne pose aucun problème : il faut deux gâteaux découpés en tiers pour prélever quatre tiers, et l'on obtient alors un gâteau entier plus un tiers.
Les deux lectures sont justes et elles servent à des choses différentes. La lecture par le partage sert à comprendre ce qu'une fraction mesure. La lecture par le comptage sert à calculer, à dépasser le tout et à encadrer. Ce chapitre installe la seconde.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, tous vérifiables sur une bande de papier graduée.
- Décomposer une fraction en une somme de fractions unitaires.
- Écrire une fraction supérieure au tout, et dire ce qu'elle représente.
- Décomposer une fraction supérieure au tout en un nombre entier plus une fraction inférieure au tout.
- Encadrer une fraction entre deux nombres entiers consécutifs.
Ce qu'il faut avoir travaillé avant ce chapitre
Une fraction est une somme de parts identiques
Le premier changement de regard consiste à écrire une fraction comme une addition. Trois cinquièmes, c'est un cinquième plus un cinquième plus un cinquième. Cette écriture semble inutile tant qu'on reste sur des cas simples, et elle devient l'outil principal dès qu'il s'agit de calculer : elle explique pourquoi on peut ajouter des fractions qui ont le même dénominateur, et pourquoi on ne peut pas ajouter directement celles qui n'ont pas le même.
La fraction unitaire est donc la brique. Le dénominateur choisit la brique : cinquième, dixième, centième. Le numérateur dit combien de briques on empile. Deux fractions faites de la même brique se comparent et s'additionnent aussi facilement que des nombres entiers, parce que compter des cinquièmes ne demande rien de plus que compter.
Une conséquence immédiate mérite d'être posée tout de suite : quand le numérateur atteint le dénominateur, toutes les parts du partage sont prises, et la fraction vaut le tout. Trois tiers valent un, huit huitièmes valent un, cent centièmes valent un. Si le numérateur dépasse le dénominateur, la fraction dépasse le tout.
Les mots de ce chapitre
Ces trois expressions reviendront à chaque chapitre de calcul.
- Unité de comptage
- La part choisie pour compter. Quand le dénominateur vaut 5, l'unité de comptage est le cinquième, et toutes les quantités du problème se disent en cinquièmes.
- Fraction inférieure au tout
- Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur : toutes les parts n'ont pas été prises. 3/4 et 7/10 en sont.
- Fraction supérieure au tout
- Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur : il a fallu plus d'un tout pour prélever ces parts. 7/4 et 12/10 en sont.
Exemple travaillé. Décomposer 7/4 en un entier et une fraction
Énoncé : écrire 7/4 sous la forme d'un nombre entier plus une fraction inférieure au tout, puis encadrer 7/4 entre deux entiers consécutifs.
- Dire l'unité de comptage
Le dénominateur vaut 4 : on compte en quarts. La fraction 7/4 est donc sept quarts, c'est-à-dire un quart répété sept fois. - Chercher combien de quarts font un tout
Quatre quarts font un tout, puisque toutes les parts du partage sont prises. C'est le seul fait dont on a besoin ici. - Retirer un tout complet
Dans sept quarts, on prélève quatre quarts, qui font un tout. Il reste sept moins quatre, soit trois quarts. Peut-on retirer un second tout ? Non : trois quarts ne suffisent pas à faire quatre quarts. - Écrire la décomposition
Sept quarts valent donc un tout plus trois quarts, ce qui s'écrit 7/4 = 1 + 3/4. - En déduire l'encadrement
Puisque 7/4 vaut 1 plus quelque chose de plus petit que 1, ce nombre est plus grand que 1 et plus petit que 2. L'encadrement s'écrit 1 < 7/4 < 2. La décomposition donne donc l'encadrement sans calcul supplémentaire, et c'est pour cela qu'on la fait d'abord.
Le même geste, plus vite
Une fois le raisonnement compris, il se raccourcit. Encadrer une fraction revient à chercher combien de touts entiers tiennent dedans, ce qui est exactement une division du numérateur par le dénominateur. Pour 17/5, on cherche combien de fois cinq tient dans dix-sept : trois fois, puisque trois fois cinq font quinze, et il reste deux. Donc 17/5 vaut 3 + 2/5, et l'encadrement est 3 < 17/5 < 4.
Reprenez ce raccourci sur 23/6 : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.
Un cas particulier reste à noter : quand la division tombe juste, il n'y a pas de reste, et la fraction vaut un nombre entier. C'est le cas de 12/4, qui vaut exactement 3. On ne l'encadre pas entre deux entiers : il en est un.
Exercice en chemin du chapitre 2. Le raccourci sur 23/6
Posé au fil du chapitre : faites-le avant de poursuivre, avec la démarche de l'exemple 17/5.
- Décomposez 23/6 en un entier plus une fraction, puis donnez l'encadrement : combien de fois six tient-il dans vingt-trois, et que reste-t-il ?
Piège classique : croire qu'une fraction est toujours plus petite que 1, parce que les premiers exemples rencontrés sont des parts de gâteau. Une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur est parfaitement légitime, et elle apparaîtra dans tous les calculs d'addition du chapitre 6. Ne la corrigez pas en inversant les deux nombres : 7/4 et 4/7 sont deux nombres différents, l'un plus grand que 1 et l'autre plus petit.
Exercice 2.1. Décomposer en fractions unitaires
Écrivez chaque fraction comme une somme de fractions unitaires, puis dites en une phrase ce que cela signifie.
- Décomposez 4/5 en une somme de fractions unitaires.
- Décomposez 3/8 en une somme de fractions unitaires.
- Quelle fraction est égale à un dixième répété neuf fois ?
Exercice 2.2. Reconnaître ce qui dépasse le tout
Pour chaque fraction, dites si elle est plus petite que 1, égale à 1, ou plus grande que 1, et justifiez en une phrase.
- Classez 5/6, 6/6 et 9/6 par rapport à 1.
- Une bande de papier est partagée en tiers. Combien de tiers faut-il pour couvrir deux bandes entières ?
- Peut-on prendre 5/4 d'une seule tarte ? Expliquez ce que cette écriture demande.
Exercice 2.3. Décomposer et encadrer
Écrivez chaque fraction sous la forme d'un entier plus une fraction inférieure au tout, puis donnez son encadrement entre deux entiers consécutifs.
- Décomposez et encadrez 11/3.
- Décomposez et encadrez 25/8.
- Que se passe-t-il quand on applique la même méthode à 20/5 ? Que devient l'encadrement ?
Auto-évaluation du chapitre 2
Répondez sans revenir en arrière. Une réponse qui ne vient pas signale l'objectif à reprendre.
- Que vaut une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur, et pourquoi ?
- Quelle opération entre le numérateur et le dénominateur donne directement l'encadrement d'une fraction entre deux entiers ?
- Pourquoi dit-on que le dénominateur choisit l'unité de comptage ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- Une fraction est une somme de fractions unitaires : 3/5 vaut un cinquième plus un cinquième plus un cinquième.
- Le dénominateur choisit l'unité de comptage, le numérateur compte les unités.
- Numérateur égal au dénominateur : la fraction vaut 1. Numérateur plus grand : elle dépasse 1.
- Toute fraction se décompose en un nombre entier plus une fraction inférieure au tout, en divisant le numérateur par le dénominateur.
- Cette décomposition donne aussitôt l'encadrement de la fraction entre deux entiers consécutifs.