Chapitre 3. Une fraction est un nombre

Tant qu'une fraction reste une part de quelque chose, elle n'est pas encore un nombre : elle est la description d'un objet découpé. Le passage au statut de nombre se fait le jour où l'on place la fraction sur une droite graduée, entre deux entiers, comme on y place 7 ou 12. Ce geste est le plus important du volume, et c'est aussi celui que la recherche publique sur l'enseignement des fractions place au centre, comme le dit le chapitre des sources.

Une droite graduée est une ligne sur laquelle on a marqué un point 0, puis un point 1, puis 2, 3, et ainsi de suite à intervalles égaux. La distance de 0 à 1 est l'unité. Placer une fraction sur cette droite revient à partager l'intervalle qui va de 0 à 1 en autant de parts que l'indique le dénominateur, puis à avancer d'autant de parts que l'indique le numérateur.

Une fois cela fait, une fraction cesse d'être une opération en attente : c'est un point, donc un nombre, qui a une place et une seule.

Le geste se décompose toujours de la même façon. On repère l'unité, c'est-à-dire l'intervalle de 0 à 1. On partage cet intervalle en autant de parts égales que le dénominateur l'indique, ce qui demande de tracer un nombre de marques égal au dénominateur diminué de un : trois marques pour obtenir quatre quarts, neuf marques pour obtenir dix dixièmes. Puis on avance, à partir de 0, du nombre de parts qu'indique le numérateur.

Pour une fraction supérieure au tout, rien ne change dans la méthode : on continue simplement à avancer au-delà de 1. Le partage en quarts se poursuit entre 1 et 2, entre 2 et 3, et ainsi de suite, avec des parts toujours de la même taille. C'est ici que la décomposition du chapitre précédent rend service : sachant que 7/4 vaut 1 plus 3/4, on sait avant de tracer que le point cherché se trouve entre 1 et 2, aux trois quarts du chemin.

Le partage d'un segment en parts égales sans mesurer se fait avec un jeu de lignes parallèles également espacées : on pose le segment en travers, et les lignes le découpent en parts égales. Une feuille de cahier à lignes suffit, et ce guide évite d'avoir à diviser des longueurs à la règle.

La droite graduée rend visibles trois ruptures avec les nombres entiers, et ce sont elles qui expliquent la plupart des erreurs durables. Elles se constatent, elles ne se démontrent pas ici, et il suffit de les avoir vues une fois.

Première rupture : un nombre n'a plus de suivant. Après l'entier 7 vient 8, sans rien entre les deux. Après 1/2, il est impossible de nommer le nombre qui vient juste après, parce qu'entre 1/2 et n'importe quel nombre plus grand, on peut toujours en trouver un autre. Entre 1/2 et 3/4, par exemple, se trouve 5/8.

Deuxième rupture : le nombre qui s'écrit avec les plus grands chiffres n'est pas forcément le plus grand. Sur la droite, 1/100 est presque collé à 0 alors que 1/2 est loin, à mi-chemin de 1. Un grand dénominateur fait de petites parts, donc un petit nombre.

Troisième rupture : multiplier ne fait plus toujours grandir. Multiplier 8 par 1/2 donne 4, c'est-à-dire moins que 8, alors que multiplier par un nombre entier a toujours fait grandir jusqu'ici. Ce point est travaillé au chapitre 7, mais la droite le laisse déjà pressentir : dès que l'on multiplie par un nombre plus petit que 1, on recule au lieu d'avancer.

Placez maintenant vous-même deux fractions sur une même droite : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.