Chapitre 6 sur 14 · Les fractions
Chapitre 5. Comparer deux fractions
Quatre méthodes de comparaison, de la plus rapide à la plus générale, et la règle qui dit laquelle employer selon ce que l'on a sous les yeux.
Comparer sans calculer, quand c'est possible
Comparer deux fractions consiste à dire laquelle est la plus grande, c'est-à-dire laquelle est le plus à droite sur la droite graduée. Il existe pour cela une méthode générale qui marche toujours, et trois raccourcis qui ne marchent que dans certains cas. Les raccourcis ne sont pas des astuces : ce sont des lectures directes du sens de la fraction, et ils demandent moins d'écriture, donc ils font moins d'erreurs.
La bonne habitude consiste à regarder d'abord ce que l'on a sous les yeux, et à ne sortir la méthode générale que si aucun raccourci ne s'applique. Un calcul évité est un calcul juste.
Ce chapitre suppose le chapitre précédent tenu : la méthode générale consiste à réécrire les deux fractions avec un même dénominateur, et cette réécriture est exactement le geste installé au chapitre 4.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Cinq gestes : les méthodes de comparaison, du plus rapide au plus général, puis leur usage sur une liste.
- Comparer deux fractions de même dénominateur.
- Comparer deux fractions de même numérateur.
- Comparer une fraction à 1, puis à 1/2, pour trancher sans calcul.
- Comparer deux fractions quelconques en les réécrivant avec un même dénominateur.
- Ranger une courte liste de fractions dans l'ordre croissant.
Ce qu'il faut avoir travaillé avant ce chapitre
Les trois lectures directes
Premier cas, le plus simple : les deux fractions ont le même dénominateur. Les parts sont alors de même taille, et il suffit de compter combien on en prend. Entre 3/7 et 5/7, la seconde est la plus grande, parce que cinq parts identiques dépassent trois parts identiques. C'est une comparaison de nombres entiers déguisée.
Deuxième cas : les deux fractions ont le même numérateur. On prend alors le même nombre de parts, mais des parts de tailles différentes. Plus le dénominateur est grand, plus le partage est fin, donc plus la part est petite. Entre 3/5 et 3/8, la plus grande est 3/5 : trois grosses parts dépassent trois petites parts. Cette règle surprend, parce qu'elle inverse l'ordre des dénominateurs, et c'est précisément pour cela qu'elle mérite d'être vérifiée une fois sur une bande de papier.
Troisième cas : les deux fractions se situent de part et d'autre d'un repère connu. Les repères les plus utiles sont 1 et 1/2. Une fraction est plus petite que 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur ; elle est plus grande que 1 dans le cas contraire. Elle est plus grande que 1/2 quand deux fois son numérateur dépasse son dénominateur, c'est-à-dire quand deux fois cette fraction dépasse le tout. Ainsi 5/9 est plus grand que 1/2, puisque deux fois 5 font 10, ce qui dépasse 9 ; et 4/9 est plus petit, puisque deux fois 4 font 8, ce qui n'atteint pas 9. Entre 4/9 et 6/11, on tranche donc sans le moindre calcul commun.
Choisir sa méthode en regardant les deux écritures
Un raccourci suffit
- Mêmes dénominateurs : on compare les numérateurs.
- Mêmes numérateurs : le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction.
- Les deux se situent de part et d'autre d'un repère, 1 ou 1/2 : celle qui dépasse le repère est la plus grande.
Il faut la méthode générale
- Rien de commun entre les deux écritures, et les deux fractions sont du même côté des repères.
- Les deux fractions sont proches, et un repère grossier ne tranche pas.
- On doit ranger plus de deux fractions : un seul dénominateur commun sert alors pour toute la liste.
Exemple travaillé. Comparer 5/6 et 7/9
Énoncé : dire laquelle de ces deux fractions est la plus grande, en justifiant.
- Chercher un raccourci
Les dénominateurs diffèrent, les numérateurs aussi. Les deux fractions sont plus petites que 1 et plus grandes que 1/2. Aucun raccourci ne tranche : il faut la méthode générale. - Trouver un dénominateur commun
On cherche un nombre qui soit à la fois multiple de 6 et de 9. Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24 ; les multiples de 9 sont 9, 18, 27. Le premier commun est 18. On comparera donc en dix-huitièmes. - Réécrire la première fraction
Pour passer de 6 à 18, on multiplie par 3. Le numérateur suit : 5 fois 3 donne 15. Donc 5/6 = 15/18. - Réécrire la seconde fraction
Pour passer de 9 à 18, on multiplie par 2. Le numérateur suit : 7 fois 2 donne 14. Donc 7/9 = 14/18. - Conclure sur les deux écritures comparables
Les deux fractions comptent maintenant des parts de même taille : 15 dix-huitièmes contre 14 dix-huitièmes. Donc 5/6 est plus grand que 7/9, et l'écart entre les deux vaut un seul dix-huitième, ce qui explique qu'aucun repère grossier n'ait suffi.
Ranger une liste
Ranger plusieurs fractions dans l'ordre croissant demande la même méthode, appliquée une seule fois pour toute la liste : on cherche un dénominateur qui convienne à toutes, on réécrit tout le monde, puis on range les numérateurs. Le résultat se donne ensuite avec les écritures de départ, et non avec les écritures de travail, sinon on répond à une autre question que celle posée.
Un moyen simple de trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions consiste à multiplier les dénominateurs entre eux : le produit est toujours un multiple de chacun. Ce dénominateur est rarement le plus petit possible, mais il marche à tous les coups, et il vaut mieux un calcul un peu plus lourd qu'une recherche qui n'aboutit pas.
Reprenez la méthode sur une liste neuve : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.
Exercice en chemin du chapitre 5. Ranger une liste de trois fractions
Posé au fil du chapitre : appliquez la méthode du rangement, une seule fois pour toute la liste.
- Rangez la liste 2/3, 3/4 et 5/8 dans l'ordre croissant, en réécrivant les trois fractions avec le dénominateur 24.
Piège dominant du chapitre : comparer les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, comme s'il s'agissait de deux nombres indépendants. Cela conduit à affirmer que 3/8 dépasse 2/3, parce que 3 dépasse 2 et 8 dépasse 3. Le contrôle qui sauve tient en une phrase : situer chaque fraction par rapport à 1/2 avant de conclure. Ici 3/8 est plus petit que 1/2 et 2/3 est plus grand : la réponse était donc fausse avant tout calcul.
Exercice 5.1. Comparer par lecture directe
Comparez chaque paire en indiquant lequel des trois raccourcis vous employez. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire ici.
- Comparez 4/9 et 7/9.
- Comparez 2/5 et 2/11.
- Comparez 8/7 et 6/7, puis dites laquelle des deux dépasse le tout.
Exercice 5.2. Comparer à 1 et à 1/2
Pour chaque question, placez d'abord chaque fraction par rapport au repère demandé, puis concluez.
- Parmi 3/8, 9/8 et 8/8, laquelle est plus petite que 1, laquelle vaut 1, laquelle dépasse 1 ?
- Comparez 5/12 et 7/10 en utilisant le repère 1/2.
- Une fraction a pour dénominateur 14. Quel est le plus petit numérateur entier qui la rend plus grande que 1/2 ?
Exercice 5.3. Méthode générale et rangement
Cet exercice croise ce chapitre avec le chapitre 4. Écrivez les réécritures intermédiaires.
- Comparez 3/4 et 5/7 en les réécrivant avec un même dénominateur.
- Rangez dans l'ordre croissant 1/2, 5/8 et 3/5.
- Deux ateliers ont utilisé chacun une bobine de fil de même longueur : le premier en a consommé 5/6, le second 9/10. Lequel en a le plus consommé ?
Auto-évaluation du chapitre 5
Répondez sans revenir en arrière, puis comparez au corrigé.
- À numérateur égal, quelle fraction est la plus grande, et pourquoi ?
- Quelle question se pose-t-on en premier devant deux fractions à comparer ?
- Comment obtenir à coup sûr un dénominateur commun à deux fractions, même sans chercher le plus petit ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- À dénominateur égal, la plus grande fraction est celle dont le numérateur est le plus grand.
- À numérateur égal, la plus grande fraction est celle dont le dénominateur est le plus petit, car ses parts sont plus grosses.
- Les repères 1 et 1/2 tranchent souvent sans aucun calcul.
- La méthode générale consiste à réécrire les deux fractions avec un même dénominateur, puis à comparer les numérateurs.
- Le produit des dénominateurs donne toujours un dénominateur commun, même s'il n'est pas le plus petit.