Chapitre 7. Prendre une fraction d'une quantité

Jusqu'ici, une fraction disait une quantité : trois quarts d'une bande, cinq sixièmes d'une tarte. Elle peut aussi agir sur un nombre, et c'est un emploi différent. Prendre le quart de 12 billes, c'est faire quelque chose à 12 : partager en quatre, puis prendre une part. Le résultat, 3, est un nombre de billes, pas une fraction.

Cet emploi est partout dans la vie courante : le tiers d'un salaire, les trois quarts d'une distance, la moitié d'une durée, les deux cinquièmes d'un stock. Il explique aussi le sens du mot pour cent, qui n'est rien d'autre qu'une fraction de dénominateur cent appliquée à une quantité.

Le geste tient en deux temps, dans cet ordre : on divise par le dénominateur pour obtenir une part, puis on multiplie par le numérateur pour en prendre plusieurs. Ces deux temps sont la traduction directe de ce qu'une fraction veut dire, et il n'y a rien à mémoriser au-delà de cela.

Prendre les trois quarts de 20 se fait ainsi : 20 partagé en quatre donne 5, et trois de ces parts donnent 15. On a d'abord divisé, puis multiplié. Le même résultat s'obtient en multipliant d'abord : trois fois 20 donnent 60, et 60 partagé en quatre donne 15. Les deux chemins arrivent au même point, et l'on choisit celui dont les calculs tombent juste.

En pratique, on commence par diviser quand la division tombe juste, parce que les nombres restent petits. On commence par multiplier quand elle ne tombe pas juste : pour prendre les deux tiers de 10, diviser 10 par 3 ne donne pas un nombre entier, alors que deux fois 10 font 20, et il reste à partager 20 en trois parts égales.

Ce dernier partage se fait sans quitter ce que le livre a déjà installé, à condition de changer d'unité de comptage. Chaque unité vaut trois tiers, donc 20 unités valent soixante tiers. Partager soixante tiers en trois parts égales donne vingt tiers par part, ce qui s'écrit 20/3. Une barre de fraction dit donc aussi un partage à faire : 20/3 est à la fois vingt tiers et le résultat du partage de 20 en trois parts égales. Ce troisième sens de la barre se retrouvera partout dès qu'une division ne tombera pas juste.

Le vocabulaire courant emploie le mot de dans ce sens, et c'est un signal fiable : les trois quarts de 20, la moitié de 48, le tiers d'une heure. Chaque fois que le mot de relie une fraction à une quantité, il annonce ce calcul en deux temps.

La multiplication d'une fraction par un entier est le même geste, dit dans l'autre sens. Trois fois 2/5, c'est 2/5 répété trois fois, donc 6/5, ce que l'on obtient en multipliant le seul numérateur. Le dénominateur ne bouge pas, puisque la taille des parts n'a pas changé : on en prend seulement davantage.

Le chapitre 3 annonçait qu'une des habitudes des entiers cesse d'être vraie : multiplier ne fait plus toujours grandir. Ce chapitre en donne la raison. Prendre les trois quarts d'un nombre, c'est le multiplier par une quantité plus petite que 1, donc en garder une partie seulement. Le résultat est plus petit que le nombre de départ, et c'est normal.

La règle générale se lit sans calcul. Si la fraction est plus petite que 1, le résultat est plus petit que la quantité de départ. Si elle vaut 1, le résultat est égal. Si elle dépasse 1, le résultat est plus grand. Un tiers de 90 vaut 30, ce qui est plus petit ; quatre tiers de 90 valent 120, ce qui est plus grand.

Cette lecture rapide sert de contrôle sur tout calcul de ce chapitre. Un résultat plus grand que la quantité de départ, alors que la fraction employée était plus petite que 1, est faux : il n'y a pas besoin de reprendre le détail pour le savoir. Appliquez ce contrôle vous-même : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.