Corrigés des exercices

La fraction est 4/6, et elle se lit quatre sixièmes. La ligne du tableau : 4/6 ; quatre sixièmes ; le tout est partagé en six parts égales, on en prend quatre.

On cherche si le mot tiers s'applique à ce morceau. On emploie la condition d'égalité des parts, qui est la seule condition exigée par la définition d'une fraction : un tiers est l'une des trois parts d'un partage en trois parts égales. Ici les trois morceaux ne sont pas de même taille, donc le partage n'est pas en parts égales et aucun des morceaux ne peut être appelé un tiers. La réponse est non : la baguette a été coupée en trois morceaux, ce qui n'est pas la même chose que partagée en trois tiers. Le gros morceau représente bien une part de la baguette, mais aucune fraction ne le désigne tant qu'on n'a pas de partage égal.

On cherche le nombre de parts et leur nom. On emploie le fait qu'un pliage produit des parts superposables, donc égales. Le premier pli donne deux parts égales ; plier chacune d'elles en deux donne deux fois deux parts, soit quatre parts, et toutes se superposent exactement. Le tout est la feuille entière, partagée en quatre parts égales : chaque part est donc un quart de la feuille, ce qui s'écrit 1/4.

On cherche le nom d'une part. On emploie la règle qui dit que le dénominateur nomme la part : un tout partagé en six parts égales donne des sixièmes. L'énoncé précise que les parcelles ont la même surface, donc la condition d'égalité est remplie. Une parcelle est un sixième du jardin, ce qui s'écrit 1/6. Le tout de référence est le jardin entier, et il faut le dire, car un sixième du jardin n'a de sens que rapporté à lui.

On cherche la fraction qui décrit ce prélèvement. On emploie les deux rôles : le nombre de parts du partage va sous la barre, le nombre de parts prises va au-dessus. Le partage se fait en dix parts égales, donc le dénominateur vaut 10 et chaque part est un dixième. On prend trois de ces parts, donc le numérateur vaut 3. La réponse est 3/10, qui se lit trois dixièmes du ruban.

On cherche la fraction mangée. On emploie le même schéma, en remarquant d'abord que les carrés sont identiques : le partage en douze est donc bien un partage en parts égales, et chaque carré est un douzième de plaque. Cinq carrés mangés font cinq douzièmes. La réponse est 5/12. Le tout de référence est la plaque entière, et non ce qui en reste.

On cherche une fraction d'heure. On emploie le fait que le tout peut être une durée aussi bien qu'un objet : ici le tout est l'heure entière. Elle est partagée en quatre parts égales, donc chaque part est un quart d'heure, ce qui correspond aux quinze minutes annoncées. Trois de ces parts donnent 3/4, soit trois quarts d'heure, c'est-à-dire quarante-cinq minutes.

On cherche le tout, puis la fraction. On emploie la règle qui veut qu'une fraction se rapporte toujours à un tout nommé. Le tout est ici la classe entière, soit vingt élèves : c'est une collection, et rien n'interdit à un tout d'être une collection plutôt qu'un objet unique. Le partage se fait donc en vingt parts égales, chaque élève valant un vingtième de la classe. Cinq élèves absents représentent cinq de ces parts, soit 5/20 de la classe.

On cherche l'explication d'une contradiction apparente. On emploie le fait qu'une fraction ne dit pas une quantité toute seule, mais une quantité rapportée à un tout. Les deux personnes ont bien mangé 1/2, mais pas 1/2 du même tout : l'une avait une grande pizza, l'autre une petite. Les deux affirmations sont donc justes en même temps, et il n'y a aucune contradiction. Cet exemple montre pourquoi le premier geste devant une fraction consiste à nommer le tout de référence.

On cherche deux fractions du même tout. On emploie la condition d'égalité, remplie ici parce que les verres sont identiques et remplis à ras bord : le litre est donc bien partagé en cinq parts égales. Un verre contient un cinquième du litre, ce qui s'écrit 1/5. Trois verres contiennent trois de ces parts, ce qui s'écrit 3/5. Le tout de référence est le litre versé, et non la contenance d'un verre.

On cherche la condition qui autorise le mot quart. On emploie la définition d'une fraction, qui exige un partage en parts égales. Il faut donc vérifier que les quatre morceaux ont exactement la même taille, ce qu'un pliage ou une superposition permet de contrôler. Sans cette égalité, il y a quatre morceaux et pas quatre quarts. Il faut aussi savoir de quel tout on parle, faute de quoi le mot quart ne désigne aucune quantité.

On cherche le rôle de chaque terme. On emploie les deux définitions du chapitre. Le nombre écrit après la barre oblique est le dénominateur : ici 9, et c'est lui qui nomme la part, puisque le tout est partagé en neuf parts égales appelées neuvièmes. Le nombre écrit avant la barre est le numérateur : ici 7, et c'est lui qui compte, puisqu'on prend sept de ces parts. La fraction se lit sept neuvièmes.

On cherche la raison d'un écart possible entre deux écritures identiques. On emploie le rôle du tout de référence. Une fraction dit une quantité par rapport à un tout : la moitié d'une feuille de cahier et la moitié d'un terrain de sport s'écrivent toutes les deux 1/2, et elles ne recouvrent pas la même surface. L'écriture est la même parce que le geste est le même, mais les touts diffèrent. C'est pourquoi un énoncé doit toujours nommer le tout auquel la fraction se rapporte.

Six tient trois fois dans vingt-trois, puisque trois fois six font dix-huit, et il reste cinq. Donc 23/6 = 3 + 5/6, et l'encadrement est 3 < 23/6 < 4.

On cherche une écriture en somme de parts identiques. On emploie le fait que le dénominateur choisit l'unité de comptage et que le numérateur compte les répétitions. Ici l'unité est le cinquième, et l'on en prend quatre. La décomposition s'écrit 4/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5. Elle signifie que quatre cinquièmes valent un cinquième répété quatre fois, ce qui est exactement le sens de la fraction.

On cherche la même écriture pour un autre dénominateur. On emploie le même raisonnement : le dénominateur vaut 8, donc l'unité de comptage est le huitième, et le numérateur 3 dit qu'on en prend trois. La décomposition s'écrit 3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8. Trois huitièmes valent donc un huitième répété trois fois.

On cherche la fraction correspondant à une répétition décrite en mots. On emploie la lecture inverse de la décomposition : l'unité de comptage est le dixième, donc le dénominateur vaut 10 ; on la répète neuf fois, donc le numérateur vaut 9. La réponse est 9/10, qui se lit neuf dixièmes. On remarque au passage que cette fraction est plus petite que 1, puisqu'il faudrait dix dixièmes pour faire le tout.

On cherche la position de trois fractions par rapport au tout. On emploie la règle qui compare le numérateur au dénominateur. Pour 5/6, le numérateur est plus petit que le dénominateur : toutes les parts ne sont pas prises, donc la fraction est plus petite que 1. Pour 6/6, les deux nombres sont égaux : toutes les parts du partage sont prises, donc la fraction vaut exactement 1. Pour 9/6, le numérateur dépasse le dénominateur : il a fallu plus d'un tout pour prélever neuf sixièmes, donc la fraction dépasse 1.

On cherche un nombre de parts. On emploie le fait qu'un tout vaut trois tiers, puisque le partage se fait en trois parts égales. Une bande entière demande donc trois tiers, et deux bandes entières en demandent deux fois plus, soit six. La réponse est six tiers, ce qui s'écrit 6/3. On vérifie la cohérence : 6/3 a un numérateur double du dénominateur, donc cette fraction vaut bien 2.

On cherche si l'écriture est réalisable sur un seul objet. On emploie la lecture par comptage : 5/4 demande cinq parts, chacune étant un quart de tarte. Or une seule tarte partagée en quarts n'en fournit que quatre. La réponse est donc non : il faut une seconde tarte, partagée en quarts de la même taille, pour prélever le cinquième quart. L'écriture 5/4 est parfaitement légitime, elle décrit simplement une quantité qui dépasse le tout, et elle vaut une tarte entière plus un quart.

On cherche une décomposition en entier plus fraction, puis un encadrement. On emploie la division du numérateur par le dénominateur. Trois tiers font un tout : on cherche donc combien de fois 3 tient dans 11. Trois fois 3 font 9, et il reste 2 ; quatre fois 3 feraient 12, ce qui dépasse. Donc 11/3 = 3 + 2/3. Puisque la fraction restante est plus petite que 1, le nombre est plus grand que 3 et plus petit que 4, ce qui donne l'encadrement 3 < 11/3 < 4.

On cherche la même chose avec un autre dénominateur. On emploie la même division : huit huitièmes font un tout, donc on cherche combien de fois 8 tient dans 25. Trois fois 8 font 24, et il reste 1 ; quatre fois 8 feraient 32, ce qui dépasse. Donc 25/8 = 3 + 1/8, et l'encadrement s'écrit 3 < 25/8 < 4. On remarque que ce nombre est très proche de 3, puisqu'il ne dépasse le tout que d'un seul huitième.

On cherche ce que donne la méthode dans un cas particulier. On emploie la même division : quatre fois 5 font exactement 20, et il ne reste rien. La décomposition donne donc 4 plus zéro cinquième, c'est-à-dire 4 tout court. La fraction 20/5 est un nombre entier, et il n'y a pas lieu de l'encadrer entre deux entiers consécutifs, puisqu'elle en est un. L'encadrement strict n'existe pas ici, et c'est le seul cas où la méthode ne produit pas deux bornes.

On cherche la valeur d'une telle fraction. On emploie la définition du partage : le dénominateur dit en combien de parts le tout est partagé, et le numérateur combien on en prend. Quand les deux nombres sont égaux, on prend toutes les parts du partage, donc on reprend le tout entier. Une telle fraction vaut donc 1, quel que soit le dénominateur : 3/3, 8/8 et 100/100 valent tous 1.

On cherche l'opération qui produit l'encadrement. On emploie le fait que le dénominateur de parts fait un tout : chercher combien de touts tiennent dans la fraction revient à chercher combien de fois le dénominateur tient dans le numérateur. C'est donc la division du numérateur par le dénominateur. Son quotient donne le nombre entier de touts, et le reste donne les parts qui dépassent, ce qui livre à la fois la décomposition et l'encadrement.

On cherche le sens de cette expression. On emploie la décomposition d'une fraction en somme de fractions unitaires. Le dénominateur fixe en combien de parts le tout est partagé, donc la taille de la part : avec 5, on compte en cinquièmes ; avec 10, en dixièmes. Toutes les quantités du problème se disent alors dans cette unité, exactement comme on compte en kilogrammes ou en litres. Le numérateur, lui, ne fait que compter combien de ces unités on prend.

On compte en quarts : 1/4 se place une part après 0, et 5/4 vaut 4/4 + 1/4, donc une part après 1. L'écart entre 1/4 et 1 vaut trois quarts ; l'écart entre 5/4 et 1 vaut un quart : 5/4 est la plus proche de 1.

On cherche un tracé et un nombre de marques. On emploie la règle du chapitre : obtenir des parts entre deux entiers demande une marque de moins qu'il n'y a de parts, puisque les deux bornes sont déjà là. Pour obtenir cinq parts, il faut donc quatre marques entre 0 et 1. Le point 3/5 se place en avançant de trois parts depuis 0, donc sur la troisième marque. Sur le tracé, il tombe au-delà du milieu de l'intervalle, puisque trois parts sur cinq dépassent la moitié du chemin.

On cherche la position du point. On emploie la décomposition avant de tracer : quatre quarts font un tout, donc sept quarts valent 1 + 3/4. Le point est donc entre 1 et 2, aux trois quarts de l'intervalle. Sur le tracé, chaque unité est partagée en quatre parts égales par trois marques, et l'on avance de sept parts depuis 0 : les quatre premières mènent à 1, les trois suivantes au point cherché.

On cherche à comparer deux distances au point 1. On emploie le fait qu'à dénominateur égal les parts sont de même taille, donc il suffit de compter. Pour atteindre 1, il faut dix dixièmes. Depuis 4/10, il manque six dixièmes ; depuis 9/10, il n'en manque qu'un. La réponse est donc 9/10, qui est le plus proche de 1. Sur le tracé, il se place sur la neuvième marque après 0, juste avant le point 1.

On cherche la fraction correspondant à une position. On emploie la lecture inverse du tracé : le nombre de parts du partage donne le dénominateur, le nombre de parts parcourues donne le numérateur. L'unité est partagée en huit, donc chaque part est un huitième. Le point est atteint après cinq parts, donc il désigne 5/8. Sur le tracé, ce point se situe juste au-delà du milieu de l'intervalle, puisque cinq parts sur huit dépassent la moitié du chemin.

On cherche la fraction d'un point situé au-delà de 1. On emploie la décomposition en entier plus fraction, lue à l'envers. Le point vaut deux touts plus deux tiers, ce qui s'écrit 2 + 2/3. Pour le dire en une seule fraction, on convertit les touts en tiers : deux touts valent six tiers, auxquels s'ajoutent les deux tiers du dépassement, soit huit tiers. La réponse est 8/3, et l'on vérifie que ce nombre est bien entre 2 et 3.

On cherche l'écriture en sixièmes du nombre 1. On emploie la règle qui dit qu'une fraction vaut le tout quand toutes les parts du partage sont prises. L'unité est partagée en six parts, donc il faut avancer de six parts pour atteindre 1. La réponse est 6/6. C'est une écriture parmi d'autres du même nombre : le point 1 porte aussi bien 1, 6/6 ou 12/12, ce qui sera travaillé au chapitre suivant.

On cherche une fraction strictement comprise entre deux nombres. On emploie le tracé : sur une droite graduée en quarts, le point 1/2 tombe sur la deuxième marque et le point 1 sur la quatrième, donc la troisième marque, qui porte 3/4, se trouve entre les deux. La méthode est générale : pour trouver un nombre entre deux fractions, on partage l'unité plus finement et l'on prend une graduation intermédiaire. D'autres réponses conviennent, comme 5/8 ou 7/10, et c'est justement le fait qu'il y en ait une infinité qui distingue les fractions des entiers. Le chapitre suivant expliquera pourquoi 1/2 et 2/4 désignent le même point.

On cherche à comparer deux distances à 0. On emploie la deuxième rupture du chapitre : à numérateur égal, un grand dénominateur donne de petites parts. Partager l'unité en cent donne des parts minuscules, et l'on n'en prend qu'une : le point est donc presque collé à 0. Partager l'unité en deux donne des parts très grosses, et une seule mène déjà à mi-chemin de 1. La réponse est 1/100, et aucun calcul n'a été nécessaire.

On cherche la nature d'une erreur. On emploie le rôle du dénominateur, qui n'est pas une quantité mais un nombre de parts. L'élève compare les dénominateurs comme s'il s'agissait de deux quantités, alors qu'un dénominateur plus grand signifie un partage plus fin, donc des parts plus petites. Avec le même numérateur 1, on prend une part dans les deux cas : celle du partage en neuf est plus petite que celle du partage en deux. Il faut donc regarder la taille de la part, et non la valeur du nombre écrit dessous. La réponse est que 1/9 est plus petit que 1/2.

On cherche un nombre de marques. On emploie la règle du tracé : les points 0 et 1 sont déjà posés, donc il faut toujours une marque intermédiaire de moins qu'il n'y a de parts à obtenir. Pour obtenir sept parts égales, il faut donc six marques entre 0 et 1. C'est une erreur fréquente d'en tracer sept, ce qui donnerait huit parts et des huitièmes au lieu de septièmes.

On cherche le contrôle qui protège du placement fautif. On emploie la décomposition du chapitre 2 : la question est combien de touts entiers tiennent dans cette fraction. Elle se répond en divisant le numérateur par le dénominateur, et elle donne aussitôt l'intervalle où le point doit tomber. Pour 3/4, aucun tout entier ne tient, donc le point est entre 0 et 1, et non entre 3 et 4.

On cherche une des trois ruptures du chapitre. On emploie l'une quelconque d'entre elles. Un nombre n'a plus de suivant : après 1/2, on ne peut nommer aucun nombre immédiatement supérieur, car entre 1/2 et 3/4 se trouve encore 5/8, et ainsi de suite sans fin. Les deux autres réponses acceptables sont que le nombre écrit avec les plus grands chiffres n'est pas forcément le plus grand, comme 1/100 comparé à 1/2, et que multiplier ne fait plus toujours grandir.

Pour passer de 3 à 12, on multiplie par 4. Le numérateur suit : 2 fois 4 font 8. Donc 2/3 = 8/12.

On cherche trois écritures du même nombre. On emploie la règle de multiplication des deux termes par un même nombre non nul. En multipliant par 2, on obtient 4/10 ; par 3, on obtient 6/15 ; par 4, on obtient 8/20. Les trois fractions 4/10, 6/15 et 8/20 sont égales à 2/5 et désignent le même point sur une droite graduée. D'autres réponses conviennent, puisqu'il existe une infinité d'écritures : l'important est que le même facteur soit appliqué en haut et en bas.

On cherche le numérateur qui accompagne un dénominateur imposé. On emploie la question du facteur : par combien faut-il multiplier 4 pour obtenir 20 ? Par 5, puisque cinq fois 4 font 20. Le même facteur s'applique au numérateur : une fois 5 donne 5. La réponse est 5/20. Le passage est possible parce que 20 est un multiple de 4.

On cherche la même chose avec un facteur dix. On emploie la même méthode : pour passer de 10 à 100, on multiplie par 10, puisque dix fois 10 font 100. Le numérateur suit : trois fois 10 donne 30. La réponse est 30/100. Ce type de conversion servira à tout le chapitre 8, où les dénominateurs valent dix, cent ou mille.

On cherche la forme la plus courte. On emploie la division des deux termes par un diviseur commun, répétée tant que c'est possible. Les deux nombres sont pairs, donc on divise par 2 : 8 divisé par 2 donne 4, et 12 divisé par 2 donne 6, soit 4/6. Les deux sont encore pairs, donc on divise à nouveau par 2 : on obtient 2/3. Enfin, 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1, donc la forme la plus courte est 2/3.

On cherche la forme la plus courte. On emploie les diviseurs communs faciles à repérer : les deux nombres se terminent par 0 et 5, donc ils se divisent par 5. On obtient 6 et 9, soit 6/9. Ces deux nombres se divisent par 3, puisque 6 vaut deux fois 3 et 9 vaut trois fois 3 : on obtient 2/3. Aucun diviseur commun ne reste, donc la forme la plus courte est 2/3. On aurait pu aller plus vite en divisant directement par 15, ce qui donne le même résultat.

On cherche la forme la plus courte et sa nature. On emploie la division des deux termes par 9, puisque 27 vaut trois fois 9. On obtient un numérateur 3 et un dénominateur 1, soit 3/1. Un dénominateur égal à 1 signifie que le tout n'a pas été partagé du tout : la fraction vaut donc le nombre entier 3. Ce résultat rappelle que certaines fractions sont des nombres entiers déguisés, ce qui avait déjà été rencontré au chapitre 2 avec 20/5.

On cherche à comparer deux écritures. On emploie la simplification, qui ramène chaque fraction à sa forme la plus courte : deux nombres sont égaux si et seulement si ces formes coïncident. En divisant 6 et 9 par 3, on obtient 2/3. En divisant 4 et 6 par 2, on obtient aussi 2/3. Les deux fractions désignent donc le même nombre, et elles tombent au même point sur une droite graduée. La réponse est oui.

On cherche la même comparaison. On emploie la simplification : 4/8 se divise par 4 et donne 1/2. La fraction 3/7 ne se simplifie pas, 7 n'ayant pour diviseurs que 1 et lui-même. Reste à savoir si 3/7 vaut 1/2 : il faudrait pour cela que deux fois 3 fasse 7, or deux fois 3 font 6, ce qui n'atteint pas 7. La fraction 3/7 est donc légèrement plus petite que 1/2, et la réponse est non : les deux écritures ne désignent pas le même nombre.

On cherche la nature de l'erreur et une façon de la rendre visible. On emploie la distinction entre multiplier et ajouter : seule la multiplication des deux termes conserve la valeur, parce qu'elle coupe chaque part en morceaux sans rien retirer ni ajouter. Ajouter le même nombre en haut et en bas ne correspond à aucun découpage, donc ne conserve rien. Pour le montrer, on place les deux fractions sur une droite graduée en quinzièmes : 2/3 vaut 10/15 et 4/5 vaut 12/15, donc deux points distincts, séparés de deux quinzièmes. La réponse est que l'égalité écrite est fausse.

On cherche la règle du chapitre. On emploie l'idée que la valeur se conserve quand le partage change sans que la quantité bouge. Les deux gestes autorisés sont donc de multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul, et de les diviser par un même nombre entier non nul quand la division tombe juste des deux côtés. Aucun autre geste ne conserve la valeur, et en particulier ajouter un même nombre aux deux termes la change.

On cherche le critère d'arrêt de la simplification. On emploie la définition de la forme la plus courte : c'est celle qu'aucune division commune ne peut plus raccourcir. On sait donc qu'on est arrivé quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. En pratique, on essaie les petits diviseurs dans l'ordre, 2, puis 3, puis 5, et l'on s'arrête quand aucun ne divise les deux nombres à la fois.

On cherche si une réécriture avec un dénominateur imposé est possible. On emploie la condition du chapitre : le dénominateur visé doit être un multiple du dénominateur de départ, parce que le seul geste autorisé est la multiplication des deux termes par un même nombre entier. Or 7 n'est pas un multiple de 5 : aucun nombre entier multiplié par 5 ne donne 7. La réponse est non, il n'existe pas de nombre entier de septièmes qui vaille trois cinquièmes.

En vingt-quatrièmes : 2/3 = 16/24, 3/4 = 18/24 et 5/8 = 15/24. Les numérateurs se rangent en 15, 16, 18, donc 5/8 < 2/3 < 3/4. La réponse se donne avec les écritures de départ, comme la méthode le demande.

On cherche la plus grande des deux. On emploie le raccourci des dénominateurs égaux : les deux fractions comptent des neuvièmes, donc des parts exactement de même taille. La comparaison se réduit alors à celle des numérateurs, comme pour des nombres entiers. Sept parts dépassent quatre parts, donc 7/9 est plus grand que 4/9. Aucun dénominateur commun n'est à chercher, il est déjà là.

On cherche la plus grande des deux. On emploie le raccourci des numérateurs égaux : on prend deux parts dans les deux cas, mais les parts n'ont pas la même taille. Le partage en cinq donne des parts plus grosses que le partage en onze, puisque plus le dénominateur est grand, plus le partage est fin. Deux grosses parts dépassent deux petites parts, donc 2/5 est plus grand que 2/11.

On cherche la plus grande, puis une position par rapport à 1. On emploie d'abord le raccourci des dénominateurs égaux : les deux comptent des septièmes, donc 8/7 est plus grand que 6/7. On emploie ensuite la comparaison du numérateur au dénominateur : dans 8/7 le numérateur dépasse le dénominateur, donc cette fraction dépasse le tout et vaut 1 + 1/7 ; dans 6/7 le numérateur est plus petit, donc elle reste inférieure à 1. C'est donc 8/7 qui dépasse le tout.

On cherche à classer trois fractions par rapport au tout. On emploie la comparaison du numérateur au dénominateur, tous les dénominateurs valant ici 8. Dans 3/8, le numérateur est plus petit que 8, donc la fraction est plus petite que 1. Dans 8/8, les deux nombres sont égaux, donc la fraction vaut exactement 1. Dans 9/8, le numérateur dépasse 8, donc la fraction dépasse 1 et vaut 1 + 1/8.

On cherche la plus grande sans mise au même dénominateur. On emploie le repère 1/2, en comparant le double du numérateur au dénominateur. Pour 5/12, deux fois 5 font 10, ce qui n'atteint pas 12 : la fraction est donc plus petite que 1/2. Pour 7/10, deux fois 7 font 14, ce qui dépasse 10 : la fraction est donc plus grande que 1/2. Les deux fractions se trouvent de part et d'autre du repère, donc 7/10 est plus grand que 5/12, et aucun calcul commun n'a été nécessaire.

On cherche un seuil. On emploie le même critère : la fraction dépasse 1/2 quand le double du numérateur dépasse le dénominateur. Avec 7, le double vaut 14, donc exactement le dénominateur : la fraction 7/14 vaut précisément 1/2 et ne le dépasse pas. Avec 8, le double vaut 16, ce qui dépasse 14 : la fraction 8/14 est donc plus grande que 1/2. La réponse est 8.

On cherche la plus grande de deux fractions qu'aucun raccourci ne sépare : les dénominateurs et les numérateurs diffèrent, et les deux fractions dépassent 1/2 sans atteindre 1. On emploie la méthode générale. Le produit des dénominateurs, 28, convient comme dénominateur commun. Pour passer de 4 à 28, on multiplie par 7 : 3/4 devient 21/28. Pour passer de 7 à 28, on multiplie par 4 : 5/7 devient 20/28. Les parts sont maintenant de même taille : 21 vingt-huitièmes dépassent 20 vingt-huitièmes, donc 3/4 est plus grand que 5/7.

On cherche un rangement, donc une comparaison de trois fractions à la fois. On emploie un dénominateur commun unique pour toute la liste : 40 convient, car il est multiple de 2, de 8 et de 5. On réécrit chacune : 1/2 devient 20/40 en multipliant par 20, 5/8 devient 25/40 en multipliant par 5, et 3/5 devient 24/40 en multipliant par 8. Le rangement des numérateurs donne 20, puis 24, puis 25. L'ordre croissant s'écrit donc avec les fractions de départ : 1/2, puis 3/5, puis 5/8.

On cherche la plus grande de deux fractions. Le tout de référence est le même pour les deux ateliers, puisque l'énoncé précise que les bobines ont la même longueur : la comparaison des fractions suffit donc à répondre. On emploie la méthode générale : un dénominateur commun à 6 et 10 est 30, qui est multiple des deux. Pour passer de 6 à 30, on multiplie par 5 : 5/6 devient 25/30. Pour passer de 10 à 30, on multiplie par 3 : 9/10 devient 27/30. Vingt-sept trentièmes dépassent vingt-cinq trentièmes, donc le second atelier a le plus consommé.

On cherche la règle du deuxième raccourci. On emploie le lien entre dénominateur et taille de la part : plus le dénominateur est grand, plus le partage est fin, donc plus la part est petite. À numérateur égal, on prend le même nombre de parts dans les deux fractions ; c'est donc celle dont les parts sont les plus grosses qui l'emporte, c'est-à-dire celle dont le dénominateur est le plus petit. Ainsi 3/5 est plus grand que 3/8.

On cherche l'ordre de travail recommandé. On emploie le principe qu'un calcul évité est un calcul juste. La première question est donc de savoir si un raccourci s'applique : les dénominateurs sont-ils égaux, les numérateurs sont-ils égaux, ou les deux fractions se situent-elles de part et d'autre d'un repère comme 1 ou 1/2. On ne sort la méthode générale, c'est-à-dire la mise au même dénominateur, que si aucun de ces trois raccourcis ne tranche.

On cherche une méthode qui marche toujours. On emploie le fait que le produit de deux nombres est multiple de chacun d'eux. Il suffit donc de multiplier les deux dénominateurs entre eux : le résultat convient comme dénominateur commun dans tous les cas. Il n'est pas toujours le plus petit possible, ce qui donne des nombres plus grands et parfois un résultat à simplifier, mais il évite une recherche qui n'aboutit pas.

Avec le plus petit multiple commun, 12 : 3/4 = 9/12 et 1/6 = 2/12, donc 9/12 + 2/12 = 11/12. Avec le produit des dénominateurs, 24 : 3/4 = 18/24 et 1/6 = 4/24, donc 22/24, qui se simplifie par 2 en 11/12. Les deux chemins donnent le même nombre, seule l'écriture de travail change.

On cherche une somme. On emploie la règle des dénominateurs égaux : les deux fractions comptent des huitièmes, donc des parts de même taille, et il suffit de compter combien on en a en tout. Trois huitièmes plus quatre huitièmes font sept huitièmes, ce qui s'écrit 3/8 + 4/8 = 7/8. Le dénominateur ne bouge pas, puisque la taille des parts n'a pas changé. Le résultat ne se simplifie pas, 7 n'ayant pour diviseurs que 1 et lui-même.

On cherche une différence. On emploie la même règle, appliquée à la soustraction : on retire des dixièmes à des dixièmes, donc on soustrait les numérateurs et l'on garde le dénominateur. Sept dixièmes moins trois dixièmes font quatre dixièmes, soit 4/10. Ce résultat se simplifie : en divisant les deux termes par 2, on obtient 2/5, qui est la forme la plus courte.

On cherche une somme et son interprétation. On emploie la règle des dénominateurs égaux : cinq sixièmes plus un sixième font six sixièmes, soit 6/6. On emploie ensuite la règle du chapitre 2 : quand le numérateur égale le dénominateur, toutes les parts du partage sont prises, donc la fraction vaut le tout. Le résultat vaut donc exactement 1. C'est l'exemple le plus simple d'une addition dont le résultat mérite d'être lu plutôt que laissé tel quel.

On cherche une somme dont les dénominateurs diffèrent. On emploie d'abord la remarque qui évite du travail : 8 est déjà un multiple de 2, donc il suffit de réécrire la première fraction en huitièmes. Pour passer de 2 à 8, on multiplie par 4, donc 1/2 devient 4/8. Le calcul devient 4/8 + 3/8, c'est-à-dire une addition à dénominateur égal, qui donne 7/8. Contrôle rapide : 1/2 vaut déjà la moitié et l'on ajoute un peu moins que la moitié, donc le résultat doit être proche de 1 sans l'atteindre, ce qui est le cas.

On cherche une somme sans dénominateur commun évident. On emploie le produit des dénominateurs : cinq fois trois font 15, qui est multiple des deux. Pour passer de 5 à 15, on multiplie par 3 : 2/5 devient 6/15. Pour passer de 3 à 15, on multiplie par 5 : 1/3 devient 5/15. L'addition donne alors 6/15 + 5/15 = 11/15. Le résultat ne se simplifie pas, et il est plus petit que 1, ce qui est cohérent puisque les deux fractions de départ étaient toutes deux plus petites que 1/2.

On cherche une différence à dénominateurs différents. On emploie la mise au même dénominateur, exactement comme pour une addition : un multiple commun à 6 et 4 est 12. Pour passer de 6 à 12, on multiplie par 2 : 5/6 devient 10/12. Pour passer de 4 à 12, on multiplie par 3 : 1/4 devient 3/12. La soustraction donne 10/12 moins 3/12, soit 7/12. Le résultat ne se simplifie pas, et il reste plus grand que 1/2, ce qui est plausible puisqu'on est parti de 5/6 en retirant un quart.

On cherche une somme, puis sa décomposition. On emploie la règle des dénominateurs égaux : cinq sixièmes plus quatre sixièmes font neuf sixièmes, soit 9/6. On emploie ensuite la division du chapitre 2 : six sixièmes font un tout, et il reste trois sixièmes. Donc 9/6 = 1 + 3/6. La fraction restante se simplifie en divisant les deux termes par 3, ce qui donne 1 + 1/2. Le résultat vaut donc un tout et demi.

On cherche une somme et son encadrement. On emploie la règle des dénominateurs égaux : trois quarts plus trois quarts font six quarts, soit 6/4. On emploie ensuite la décomposition : quatre quarts font un tout, et il reste deux quarts, donc 6/4 = 1 + 2/4, c'est-à-dire 1 + 1/2 après simplification. Le résultat est donc plus grand que 1 et plus petit que 2, ce qui s'écrit 1 < 6/4 < 2.

On cherche à comparer une somme au tout. On emploie la mise au même dénominateur, le tout de référence étant la contenance du tonneau. Un multiple commun à 5 et 4 est 20 : 2/5 devient 8/20 en multipliant par 4, et 3/4 devient 15/20 en multipliant par 5. La somme vaut 8/20 + 15/20, soit 23/20. Comme le numérateur dépasse le dénominateur, cette quantité dépasse le tout : le tonneau déborde, et le débordement vaut 3/20 de sa contenance.

On cherche la raison d'une règle. On emploie le sens du dénominateur, qui n'est pas une quantité mais l'indication de la taille des parts. Additionner deux fractions revient à réunir des parts ; si ces parts ont la même taille, cette taille ne change pas parce qu'on en rassemble davantage. Seul leur nombre change, donc seul le numérateur bouge. Additionner les dénominateurs reviendrait à prétendre que réunir des sixièmes fabrique des douzièmes, ce que la figure dément aussitôt.

On cherche le geste d'ouverture. On emploie l'exigence d'une unité de comptage commune : on ne peut compter ensemble que des parts de même taille. Le premier geste consiste donc à réécrire les deux fractions avec un même dénominateur, en cherchant un multiple commun aux deux dénominateurs. Ce n'est qu'ensuite que l'addition devient un simple comptage des numérateurs.

On cherche un contrôle peu coûteux. On emploie les repères 1/2 et 1. On situe chaque fraction par rapport à eux, puis on en déduit une fourchette pour la somme : deux fractions dépassant chacune 1/2 donnent une somme dépassant 1, et deux fractions inférieures à 1 donnent une somme inférieure à 2. Un résultat hors de cette fourchette est faux sans qu'on ait besoin de refaire le calcul. C'est ce contrôle qui élimine l'erreur consistant à additionner aussi les dénominateurs.

Deux septièmes est plus petit que 1 : le résultat sera plus petit que 63. Deux septièmes est aussi plus petit que la moitié, puisque deux fois 2 font moins que 7 : le résultat restera sous la moitié de 63. Le calcul confirme : 63 partagé en sept donne 9, et deux fois 9 font 18, bien en dessous de ces bornes.

On cherche une quantité, pas une fraction. On emploie le calcul en deux temps : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur. Le tout est ici 48 pommes. On divise par 4, ce qui donne 12 : un quart de 48 vaut donc 12. Le numérateur valant 1, il n'y a qu'une part à prendre, et la réponse est 12 pommes. Contrôle : quatre fois 12 font bien 48.

On cherche une longueur. On emploie les deux temps, en commençant par la division puisqu'elle tombe juste : 40 partagé en cinq donne 8, donc un cinquième vaut 8 mètres. On prend ensuite trois de ces parts : trois fois 8 font 24. La réponse est 24 mètres. Contrôle : trois cinquièmes dépassent la moitié de 40, qui vaut 20, et restent en dessous de 40, ce qui est le cas.

On cherche une durée. On emploie le fait qu'un tout peut être une durée, à condition de l'exprimer dans une unité qui se partage bien : une heure vaut 60 minutes. On divise par 3, ce qui donne 20 : un tiers d'heure vaut 20 minutes. On prend deux de ces parts : deux fois 20 font 40. La réponse est 40 minutes. Contrôle : deux tiers dépassent la moitié d'une heure, soit 30 minutes, ce qui est le cas.

On cherche une quantité par un chemin imposé. On emploie les deux temps dans l'ordre demandé : 100 partagé en quatre donne 25, donc un quart de 100 vaut 25. On prend ensuite trois de ces parts : trois fois 25 font 75. La réponse est 75. Ce chemin garde les nombres petits, puisqu'on ne dépasse jamais 100, alors que la multiplication d'abord aurait fait passer par 300.

On cherche à traiter un cas où la division ne tombe pas juste. On emploie la liberté d'ordre entre les deux temps. Diviser 10 par 3 ne donne pas un nombre entier, donc on commence par multiplier : deux fois 10 font 20. Il reste à partager 20 en trois parts égales, ce qui ne tombe pas juste non plus. On change alors d'unité de comptage : chaque unité vaut trois tiers, donc 20 unités valent soixante tiers, et partager soixante tiers en trois parts donne vingt tiers par part, soit 20/3. En décomposant, six fois 3 font 18 et il reste 2, donc 20/3 vaut 6 + 2/3. La réponse est 20/3, c'est-à-dire six unités et deux tiers.

On cherche le même résultat par deux chemins. On emploie les deux ordres. Premier chemin, la division d'abord : 24 partagé en huit donne 3, puis cinq fois 3 font 15. Second chemin, la multiplication d'abord : cinq fois 24 font 120, puis 120 partagé en huit donne 15. Les deux chemins donnent 15, ce qui confirme qu'ils sont équivalents. Le premier n'a jamais manipulé de nombre au-delà de 24, le second est passé par 120 : c'est pourquoi on préfère diviser d'abord quand la division tombe juste.

On cherche un produit d'une fraction par un entier. On emploie la règle du chapitre : multiplier par un entier revient à répéter la fraction, donc seul le numérateur est multiplié et le dénominateur reste inchangé. Quatre fois 2/7 donne 8/7. On emploie ensuite la comparaison du numérateur au dénominateur : 8 dépasse 7, donc le résultat dépasse le tout. En décomposant, 8/7 vaut 1 + 1/7.

On cherche un produit, sa décomposition et sa simplification. On emploie d'abord la règle du produit : trois fois 5/6 donne 15/6, le dénominateur restant 6. On emploie ensuite la division du chapitre 2 : deux fois 6 font 12, et il reste 3, donc 15/6 = 2 + 3/6. On emploie enfin la simplification du chapitre 4 : 3 et 6 se divisent par 3, donc 3/6 vaut 1/2. Le résultat s'écrit 2 + 1/2, soit deux unités et demie.

On cherche une quantité totale. On emploie la règle du produit, la situation étant une répétition : six plats demandent six fois 3/4 de litre, donc 18/4 de litre. On décompose : quatre fois 4 font 16, et il reste 2, donc 18/4 = 4 + 2/4. La fraction restante se simplifie en 1/2. La réponse est quatre litres et demi. Contrôle : chaque plat demande un peu moins d'un litre, donc six plats doivent demander un peu moins de six litres, ce qui est le cas.

On cherche la méthode du chapitre. On emploie la traduction directe de ce qu'une fraction veut dire : on divise la quantité par le dénominateur pour obtenir une part, puis on multiplie par le numérateur pour en prendre plusieurs. Les deux temps peuvent s'échanger sans changer le résultat : on commence par la division quand elle tombe juste, parce que les nombres restent petits, et par la multiplication quand elle ne tombe pas juste.

On cherche le terme touché. On emploie le sens de l'opération : multiplier par un entier revient à répéter la fraction plusieurs fois, ce qui augmente le nombre de parts prises sans changer leur taille. Seul le numérateur est donc multiplié, et le dénominateur reste inchangé. Ainsi trois fois 2/5 donne 6/5, et non 6/15.

On cherche la raison d'un effet contraire à l'habitude des entiers. On emploie la comparaison de la fraction à 1 : trois quarts est plus petit que 1, donc on ne garde qu'une partie de la quantité de départ. Prendre les trois quarts de 40 donne 30, ce qui est plus petit que 40. La règle générale se lit sans calcul : une fraction plus petite que 1 diminue la quantité, une fraction égale à 1 la laisse inchangée, et une fraction plus grande que 1 l'augmente.

Sept dixièmes valent soixante-dix centièmes. Donc 7/10 + 4/100 = 70/100 + 4/100 = 74/100, soit soixante-quatorze centièmes, qui s'écrit 0,74.

On cherche à trier trois fractions selon leur dénominateur. On emploie la définition : une fraction décimale a pour dénominateur dix, cent, mille, et ainsi de suite. La fraction 3/10 en est une, puisque son dénominateur vaut dix. La fraction 25/100 en est une aussi, son dénominateur valant cent. La fraction 4/7 n'en est pas une, car 7 n'est ni dix, ni cent, ni mille, et aucun de ces nombres n'est un multiple de 7 : elle ne pourra donc jamais être réécrite en dixièmes ou en centièmes.

On cherche l'écriture à virgule d'une fraction décimale. On emploie la correspondance entre le dénominateur et le rang : un dénominateur de dix désigne des dixièmes, donc le premier rang à droite de la virgule. Neuf dixièmes s'écrivent donc 0,9. Le zéro écrit avant la virgule dit qu'il n'y a aucune unité entière, ce qui est cohérent puisque 9/10 est plus petit que 1.

On cherche le chemin inverse. On emploie le rang du dernier chiffre écrit : le 3 occupe le second rang à droite de la virgule, c'est-à-dire celui des centièmes. Le nombre vaut donc soixante-trois centièmes, ce qui s'écrit 63/100. On vérifie le sens : 0,63 est plus petit que 1 et un peu plus grand que la moitié, et 63/100 dépasse effectivement 50/100.

On cherche une réécriture avec un dénominateur imposé. On emploie la règle du chapitre 4 : pour passer de 10 à 100, on multiplie par 10, donc le numérateur suit et 4 devient 40. La réponse est 40/100. Le sens se lit aussi directement : chaque dixième vaut dix centièmes, donc quatre dixièmes valent quarante centièmes.

On cherche la même conversion d'un rang au suivant. On emploie le même facteur : pour passer de 100 à 1000, on multiplie par 10, donc le numérateur passe de 7 à 70. La réponse est 70/1000. Le sens est le même que précédemment, d'un rang plus loin : chaque centième vaut dix millièmes, donc sept centièmes valent soixante-dix millièmes.

On cherche un total exprimé dans un seul rang. On emploie la conversion des dixièmes en centièmes : trois dixièmes valent trente centièmes, puisque chaque dixième vaut dix centièmes. On ajoute ensuite les deux centièmes déjà présents, ce qui donne trente-deux centièmes, soit 32/100. En écriture à virgule, cela s'écrit 0,32.

On cherche une somme de deux fractions décimales de rangs différents. On emploie la mise au même rang : cinq dixièmes valent cinquante centièmes, donc 5/10 devient 50/100. L'addition se fait alors à dénominateur égal : 50/100 + 30/100 = 80/100. En écriture à virgule, le résultat vaut 0,8, et il peut aussi s'écrire 8/10 en revenant au rang des dixièmes.

On cherche une somme puis sa décomposition. On emploie la mise au même rang : sept dixièmes valent soixante-dix centièmes, donc 7/10 devient 70/100. L'addition donne 250/100 + 70/100 = 320/100. On emploie ensuite la décomposition : cent centièmes font une unité, donc trois cents centièmes font trois unités, et il reste vingt centièmes. Le résultat s'écrit 3 + 20/100, c'est-à-dire 3,2 en écriture à virgule.

On cherche une quantité totale et sa comparaison au tout. On emploie la mise au même rang : quatre dixièmes valent quarante centièmes, donc 4/10 devient 40/100. L'addition donne 75/100 + 40/100 = 115/100. Comme le numérateur dépasse le dénominateur, la quantité dépasse un litre. En décomposant, cent centièmes font une unité et il reste quinze centièmes, donc le total vaut 1 + 15/100, soit 1,15 litre.

On cherche le critère. On emploie la définition du chapitre : c'est le dénominateur, et lui seul, qui décide. Une fraction est décimale quand son dénominateur vaut dix, cent, mille, et ainsi de suite. Le numérateur n'entre pas dans le critère : 3/10 et 250/100 sont toutes les deux décimales, la seconde valant pourtant plus que le tout.

On cherche le rôle de la virgule. On emploie la construction du chapitre : l'écriture à virgule prolonge le tableau de numération à droite des unités, chaque rang valant dix fois moins que son voisin de gauche. La virgule marque donc la place du chiffre des unités, en se posant juste après lui. Elle ne sépare pas deux nombres indépendants : dans 3,18 il y a trois unités, un dixième et huit centièmes, soit un seul nombre.

On cherche la limite de l'écriture à virgule. On emploie la condition de réécriture du chapitre 4 : passer de 3 à un autre dénominateur exige que ce dénominateur soit un multiple de 3. Or ni dix, ni cent, ni mille ne sont des multiples de 3, et il en va de même pour toutes les puissances de dix. Aucun nombre entier de dixièmes, de centièmes ou de millièmes ne vaut donc exactement un tiers, et c'est pourquoi l'écriture à virgule ne couvre qu'une partie des fractions.

7/6 vaut 1 + 1/6, donc le résultat dépasse 1. Ce qui s'ajoute à cet entier vaut 1/6 + 3/4 : or 1/6 est plus petit que 1/4, et 1/4 + 3/4 vaut exactement 1, donc 1/6 + 3/4 reste sous 1. Le résultat tombe donc entre 1 et 2.

On cherche à identifier l'emploi et le tout. On emploie les trois cas du chapitre. La formule plantée aux deux tiers décrit une portion de l'ensemble : c'est l'emploi part d'un tout, et le tout de référence est le jardin entier, soit 240 mètres carrés. Comme ce tout est chiffré, la même fraction deviendra un opérateur dès qu'on demandera la surface plantée en mètres carrés, ce qui se calculerait en deux temps.

On cherche l'emploi et la suite prévisible du problème. On emploie les indices d'unité : les deux fractions portent sur des mètres, donc elles disent des mesures, et le tout de référence est l'unité de longueur elle-même, le mètre. C'est l'emploi mesure. Deux mesures dans la même unité s'additionnent ou se comparent comme des nombres, ce qui demandera de les mettre au même dénominateur.

On cherche l'emploi et la nature du résultat attendu. On emploie le fait que le tout est une collection chiffrée : les 30 personnes inscrites. La fraction agit sur ce nombre pour en produire un autre, donc c'est l'emploi opérateur. Le résultat ne sera pas une fraction mais un nombre de personnes, obtenu en deux temps : diviser 30 par 5, puis multiplier par 3.

On cherche un encadrement puis un résultat. On emploie d'abord les repères : deux fois 5 font 10, ce qui dépasse 6, donc 5/6 est plus grand que 1/2 ; deux fois 7 font 14, ce qui dépasse 8, donc 7/8 aussi. La somme dépasse donc 1. Chacune restant plus petite que 1, la somme reste plus petite que 2 : le résultat tombe entre 1 et 2. Pour le calcul exact, un multiple commun à 6 et 8 est 24 : 5/6 devient 20/24 et 7/8 devient 21/24, donc la somme vaut 41/24, c'est-à-dire 1 + 17/24. L'encadrement annoncé est confirmé.

On cherche une estimation puis une quantité. On emploie le repère 1/2 pour estimer : trois quarts dépassent la moitié, donc le résultat dépasse 40 litres ; trois quarts restent en dessous du tout, donc le résultat reste en dessous de 80 litres. Pour le calcul, on applique les deux temps : 80 partagé en quatre donne 20, et trois fois 20 font 60. Le réservoir contient 60 litres, ce qui tombe bien dans la fourchette annoncée.

On cherche une estimation puis une distance. On emploie le repère 1/2 : deux fois 2 font 4, ce qui n'atteint pas 5, donc 2/5 est plus petit que 1/2 et la distance parcourue est inférieure à la moitié du trajet. Elle est donc inférieure à la moitié du trajet, soit inférieure à 22,5 kilomètres, et elle n'est pas nulle. Pour le calcul, on divise d'abord puisque cela tombe juste : 45 partagé en cinq donne 9, et deux fois 9 font 18. La distance parcourue est de 18 kilomètres, ce qui respecte l'estimation.

On cherche une quantité finale en deux étapes. On emploie la règle du tout qui change. Première étape : le tout est le sac, soit 36 billes, et l'on en donne le tiers, donc 36 partagé en trois, soit 12 billes ; il reste 36 moins 12, soit 24 billes. Deuxième étape : le tout est maintenant ce qui reste, soit 24 billes, et l'on en donne la moitié, soit 12 billes ; il reste 24 moins 12, soit 12 billes. La réponse est 12 billes. L'erreur à éviter aurait été de prendre la moitié des 36 billes de départ.

On cherche à comparer un total au tout. On emploie ici un tout qui ne change pas, car l'énoncé précise que le quart porte sur la contenance totale. Première étape : deux tiers de 120, soit 120 partagé en trois qui donne 40, puis deux fois 40 qui font 80 litres. Deuxième étape : un quart de 120, soit 30 litres. Le total vaut 80 plus 30, soit 110 litres, ce qui reste en dessous de 120. La cuve ne déborde pas, et il reste même 10 litres de place.

On cherche une fraction restante. On emploie la mise au même dénominateur, puis la soustraction au tout, le tout de référence étant la commande entière. Un multiple commun à 8 et 5 est 40 : 3/8 devient 15/40 et 2/5 devient 16/40. Ensemble, les deux ateliers ont réalisé 15/40 + 16/40, soit 31/40 de la commande. La commande entière s'écrit 40/40, donc il reste 40/40 moins 31/40, c'est-à-dire 9/40 de la commande à faire.

On cherche la méthode du chapitre. On emploie l'ordre annoncé, qui n'est pas interchangeable. D'abord, de quel tout parle-t-on, car aucune fraction ne veut dire quoi que ce soit sans son tout. Ensuite, que fait la fraction dans cette situation, c'est-à-dire s'agit-il d'une part d'un tout, d'une mesure ou d'un opérateur. Enfin, quel ordre de grandeur doit avoir le résultat, ce qui fournit le contrôle. Le calcul ne vient qu'après ces trois réponses.

On cherche le tout de la seconde étape. On emploie la règle du tout qui change en cours de route : sauf mention contraire de l'énoncé, une fraction appliquée après une première opération porte sur ce qui reste, et non sur la quantité de départ. C'est le point où se produisent la plupart des erreurs de problèmes. Le remède consiste à écrire, à chaque étape, la phrase le tout est maintenant, suivie de la quantité concernée, puis à vérifier ce que l'énoncé dit exactement.

On cherche l'utilité d'un geste qui semble redondant. On emploie la définition du contrôle : une estimation encadre le résultat entre deux bornes sûres, avant tout calcul. Elle sert donc à repérer un résultat faux sans avoir à refaire le calcul, ce qui fait gagner du temps plutôt que d'en coûter. Elle sert aussi à distinguer une erreur de calcul d'une erreur de sens : un résultat très éloigné de l'estimation signale généralement qu'on s'est trompé de tout ou d'opération, et le remède est alors de relire l'énoncé.