Chapitre 9 sur 14 · Les fractions
Chapitre 8. Fractions décimales et écriture à virgule
Les fractions de dénominateur dix, cent ou mille donnent l'écriture à virgule : ce chapitre fait le passage dans les deux sens.
Une famille de fractions à part
Certaines fractions se comportent différemment des autres, non par nature, mais par choix de dénominateur. Ce sont celles dont le dénominateur vaut dix, cent, mille, et ainsi de suite. On les appelle fractions décimales, et elles servent de pont entre les fractions et l'écriture à virgule que tout le monde emploie pour les prix et les mesures.
La raison de ce statut particulier tient à la numération. Notre façon d'écrire les nombres repose sur des groupements de dix : dix unités font une dizaine, dix dizaines font une centaine. Le même rapport de dix se prolonge dans l'autre sens : une unité partagée en dix donne un dixième, un dixième partagé en dix donne un centième. L'écriture à virgule n'est rien d'autre que le prolongement du tableau de numération à droite des unités.
Ce chapitre n'introduit donc aucune règle neuve sur les fractions. Il applique tout ce qui précède à une famille particulière, et il en tire une écriture plus courte.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, dans les deux sens de conversion.
- Reconnaître une fraction décimale.
- Écrire une fraction décimale sous forme de nombre à virgule.
- Écrire un nombre à virgule sous forme de fraction décimale.
- Additionner deux fractions décimales de dénominateurs différents.
Les relations entre unités, dixièmes et centièmes
Partagez une unité en dix parts égales : chaque part est un dixième. Partagez maintenant chacun de ces dixièmes en dix : vous obtenez cent parts pour une unité, donc des centièmes. Deux égalités en découlent directement, et il faut les tenir avant tout le reste : dix dixièmes valent une unité, et dix centièmes valent un dixième.
La même construction se poursuit : dix millièmes valent un centième, et mille millièmes valent une unité. C'est toujours le même rapport de dix qui relie deux rangs voisins, exactement comme entre les unités, les dizaines et les centaines.
Ces égalités permettent de réécrire n'importe quelle fraction décimale dans un autre rang. Trois dixièmes valent trente centièmes, puisque chaque dixième vaut dix centièmes. C'est la règle du chapitre 4 appliquée à un cas où le facteur est toujours dix.
| Rang | Ce qu'il vaut en unités | Écriture en fraction |
|---|---|---|
| La dizaine | Dix unités | Ne s'écrit pas en fraction : c'est un nombre entier. |
| L'unité | Le tout de référence | 1, ou 10/10, ou 100/100. |
| Le dixième | Une unité partagée en dix | 1/10 |
| Le centième | Une unité partagée en cent, ou un dixième partagé en dix | 1/100 |
Exemple travaillé. Écrire 318/100 avec une virgule
Énoncé : donner l'écriture à virgule de la fraction décimale 318/100, en justifiant chaque étape.
- Lire la fraction
Le dénominateur vaut 100 : on compte en centièmes. La fraction vaut donc trois cent dix-huit centièmes. - Extraire les unités entières
Cent centièmes valent une unité. Dans trois cent dix-huit centièmes, on trouve trois fois cent centièmes, soit trois unités, et il reste dix-huit centièmes. - Écrire la décomposition
La fraction vaut donc 3 + 18/100, c'est-à-dire trois unités et dix-huit centièmes. - Séparer les dixièmes des centièmes
Dix-huit centièmes valent un dixième plus huit centièmes, puisque dix centièmes font un dixième. On a donc trois unités, un dixième et huit centièmes. - Poser l'écriture à virgule
Chaque rang prend sa place à droite de la virgule, dans l'ordre : les dixièmes d'abord, les centièmes ensuite. Le nombre s'écrit 3,18. La virgule ne sépare pas deux nombres : elle marque la place du chiffre des unités.
Le chemin inverse, et l'addition
Pour écrire un nombre à virgule sous forme de fraction décimale, on regarde le rang du dernier chiffre. Dans 0,7 le dernier chiffre est un rang de dixièmes, donc le nombre vaut 7/10. Dans 2,45 le dernier chiffre occupe le rang des centièmes, donc le nombre vaut 245/100. Le dénominateur se lit sur la position, jamais sur la longueur de l'écriture.
L'addition de deux fractions décimales de rangs différents n'introduit rien de neuf : c'est la mise au même dénominateur du chapitre 6, avec un facteur qui vaut toujours dix ou cent. Pour additionner 3/10 et 25/100, on écrit trois dixièmes en centièmes, soit 30/100, puis on additionne : trente centièmes plus vingt-cinq centièmes font cinquante-cinq centièmes, soit 55/100.
Terminez-en un seul vous-même : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.
Un point de vocabulaire mérite d'être posé, parce qu'il évite un malentendu durable. Toute fraction décimale s'écrit avec une virgule, mais toute fraction ne s'écrit pas avec une virgule de façon finie : un tiers ne peut s'écrire ni en dixièmes, ni en centièmes, ni en millièmes, car 3 ne divise aucune de ces puissances de dix. L'écriture à virgule ne remplace donc pas les fractions, elle en couvre une partie.
Exercice en chemin du chapitre 8. Le calcul 7/10 + 4/100
Posé au fil du chapitre : c'est la mise au même dénominateur du chapitre 6, avec un facteur dix.
- Calculez 7/10 + 4/100 : mettez les deux fractions dans le même rang, additionnez, puis donnez l'écriture à virgule du résultat.
Piège nommé par les études sur l'enseignement des décimaux : traiter le nombre écrit à droite de la virgule comme un entier indépendant. Cette habitude vient du langage courant, où trois euros vingt-cinq se dit comme trois heures vingt-cinq. Elle conduit à croire que 31,7 est plus petit que 31,28 parce que 7 est plus petit que 28. Le remède est de revenir aux rangs : 7 dixièmes valent 70 centièmes, ce qui dépasse 28 centièmes.
Exercice 8.1. Reconnaître et convertir
Répondez en justifiant par le rang, et non par le nombre de chiffres.
- Parmi 3/10, 4/7 et 25/100, lesquelles sont des fractions décimales ? Justifiez.
- Écrivez 9/10 avec une virgule.
- Écrivez 0,63 sous forme de fraction décimale.
Exercice 8.2. Changer de rang
Cet exercice croise ce chapitre avec le chapitre 4 : indiquez à chaque fois par quel nombre vous multipliez.
- Écrivez 4/10 en centièmes.
- Écrivez 7/100 en millièmes.
- Combien de centièmes valent trois dixièmes et deux centièmes ?
Exercice 8.3. Additionner et décomposer
Cet exercice croise ce chapitre avec les chapitres 2 et 6. Donnez le résultat en fraction, puis en écriture à virgule.
- Calculez 5/10 + 30/100.
- Calculez 250/100 + 7/10, puis décomposez le résultat en un entier plus une fraction inférieure au tout.
- Une bouteille contient 75/100 de litre, une autre 4/10 de litre. Quelle quantité totale ces deux bouteilles contiennent-elles, et dépasse-t-elle un litre ?
Auto-évaluation du chapitre 8
Répondez sans revenir en arrière, puis comparez au corrigé.
- Qu'est-ce qui fait qu'une fraction est décimale ?
- Que marque exactement la virgule dans un nombre comme 3,18 ?
- Pourquoi un tiers ne peut-il pas s'écrire exactement avec une virgule et un nombre fini de chiffres ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- Une fraction décimale est une fraction de dénominateur dix, cent, mille, et ainsi de suite.
- Dix dixièmes valent une unité, et dix centièmes valent un dixième : c'est le même rapport de dix qu'entre les rangs des entiers.
- L'écriture à virgule est le prolongement du tableau de numération à droite des unités, et la virgule marque la place des unités.
- Additionner deux fractions décimales revient à les mettre dans le même rang, puis à additionner.
- Toute fraction décimale s'écrit avec une virgule, mais toutes les fractions ne sont pas décimales.