Chapitre 5 sur 14 · Les fractions
Chapitre 4. Deux écritures, un seul nombre
Un même point de la droite porte une infinité d'écritures : ce chapitre installe les fractions égales, la simplification et le passage d'un dénominateur à un autre.
Le même point, deux étiquettes
Tracez une droite graduée de 0 à 1 et partagez l'unité en deux : la marque du milieu porte 1/2. Repartez de zéro et partagez la même unité en quatre : la deuxième marque porte 2/4, et elle tombe exactement au même endroit. Les deux écritures désignent le même point, donc le même nombre. On dit qu'elles sont égales, et l'on écrit 1/2 = 2/4.
Ce fait est le pivot de tout le calcul qui suit. Additionner deux fractions, les comparer, les convertir en écriture à virgule : chacun de ces gestes commence par réécrire une fraction sous une autre forme, sans changer sa valeur. Qui ne tient pas ce chapitre calcule ensuite au hasard.
Le mécanisme est simple à voir sur la figure : partager chaque part en deux double le nombre de parts prises et double aussi le nombre total de parts. La quantité, elle, n'a pas bougé d'un millimètre. On a coupé plus fin, on n'a rien ajouté ni retiré.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, qui serviront à tous les chapitres de calcul.
- Fabriquer une fraction égale à une fraction donnée.
- Vérifier si deux fractions écrites différemment désignent le même nombre.
- Simplifier une fraction jusqu'à sa forme la plus courte.
- Réécrire une fraction avec un dénominateur imposé, quand c'est possible.
Ce qu'il faut avoir travaillé avant ce chapitre
La règle, et la raison de la règle
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul donne une fraction égale à la première. Diviser les deux par un même nombre entier non nul, quand la division tombe juste des deux côtés, donne aussi une fraction égale. Ce sont les deux seuls gestes autorisés, et ils vont dans les deux sens.
La raison se lit sur la figure. Multiplier le dénominateur par 3 revient à couper chaque part en trois : les parts deviennent trois fois plus petites, il en faut donc trois fois plus pour recouvrir la même quantité, ce que fait la multiplication du numérateur par 3. Les deux effets se compensent exactement, et le point ne bouge pas.
Ce qui est interdit se déduit de la même lecture : ajouter le même nombre en haut et en bas ne conserve pas la valeur. Passer de 1/2 à 2/3 en ajoutant 1 partout donne deux nombres différents, ce que la droite graduée montre en une seconde. La multiplication conserve les proportions, l'addition ne les conserve pas.
Une fraction admet donc une infinité d'écritures : 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 50/100, et ainsi de suite sans fin. Parmi toutes ces écritures, une seule ne peut plus être simplifiée : c'est la forme la plus courte, et c'est celle que l'on donne en résultat quand rien n'impose le contraire.
Les mots de ce chapitre
Trois mots, dont un décrit un geste et deux décrivent un état.
- Fractions égales
- Deux fractions qui désignent le même nombre, donc le même point sur une droite graduée. On les obtient l'une de l'autre en multipliant ou en divisant les deux termes par un même nombre non nul.
- Simplifier
- Diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, pour obtenir une écriture plus courte du même nombre. Simplifier ne change jamais la valeur : cela change l'unité de comptage employée pour la dire.
- Forme la plus courte
- L'écriture d'une fraction qu'aucune division commune ne peut plus raccourcir. 3/4 est sous sa forme la plus courte ; 6/8 ne l'est pas, car les deux termes se divisent par 2.
Exemple travaillé. Simplifier 18/24
Énoncé : donner la forme la plus courte de la fraction 18/24, en justifiant chaque étape.
- Chercher un diviseur commun
Les deux nombres sont pairs, donc ils se divisent tous les deux par 2. C'est le diviseur le plus facile à repérer, et il est toujours bon de commencer par lui. - Diviser les deux termes par 2
18 divisé par 2 donne 9, et 24 divisé par 2 donne 12. La fraction devient 9/12, égale à la précédente. - Recommencer tant que c'est possible
9 et 12 se divisent tous les deux par 3, puisque 9 vaut trois fois 3 et 12 vaut quatre fois 3. On obtient 3 et 4, donc la fraction 3/4. - Vérifier qu'on ne peut plus rien faire
3 ne se divise que par 1 et par 3 ; 4 ne se divise pas par 3. Aucun diviseur commun autre que 1 ne reste : 3/4 est la forme la plus courte. - Contrôler la valeur
Le contrôle se fait en refaisant le chemin en sens inverse : 3 multiplié par 6 donne 18, et 4 multiplié par 6 donne 24. Les deux termes ont bien été multipliés par le même nombre, ce qui confirme l'égalité 18/24 = 3/4.
Réécrire avec un dénominateur imposé
Le geste inverse de la simplification servira à chaque addition. Il consiste à imposer le dénominateur et à chercher le numérateur qui va avec. Pour écrire 3/5 en quinzièmes, on regarde par combien il faut multiplier 5 pour obtenir 15 : par 3. Il faut donc multiplier aussi le numérateur par 3, ce qui donne 9. Ainsi 3/5 = 9/15.
Ce passage n'est possible que si le dénominateur visé est un multiple du dénominateur de départ. On peut écrire 3/5 en quinzièmes, en vingtièmes ou en centièmes, parce que 15, 20 et 100 sont des multiples de 5. On ne peut pas l'écrire en septièmes, parce que 7 n'est pas un multiple de 5 : il n'existe aucun nombre entier de septièmes qui vaille trois cinquièmes.
Essayez maintenant le geste vous-même : c'est l'exercice en chemin ci-dessous, et son corrigé est en fin de volume.
Exercice en chemin du chapitre 4. Écrire 2/3 en douzièmes
Posé au fil du chapitre : le raisonnement est celui de 3/5 en quinzièmes.
- Écrivez 2/3 en douzièmes. Cherchez d'abord par combien il faut multiplier 3 pour arriver à 12, puis appliquez le même facteur en haut.
Deux fautes se ressemblent et n'ont pas le même remède. La première consiste à ajouter le même nombre en haut et en bas : cela change la valeur, et se repère sur la droite graduée. La seconde consiste à multiplier un seul des deux termes : cela change aussi la valeur, et c'est une simple étourderie. La règle se dit donc en trois mots, à répéter avant chaque geste : les deux, ensemble, en multipliant.
Exercice 4.1. Fabriquer des fractions égales
Écrivez les fractions demandées et indiquez à chaque fois par quel nombre vous avez multiplié.
- Écrivez trois fractions égales à 2/5.
- Écrivez 1/4 avec le dénominateur 20.
- Écrivez 3/10 avec le dénominateur 100.
Exercice 4.2. Simplifier
Donnez la forme la plus courte de chaque fraction, en écrivant les divisions successives.
- Simplifiez 8/12.
- Simplifiez 30/45.
- Simplifiez 27/9, et dites ce que le résultat a de particulier.
Exercice 4.3. Décider si deux écritures sont égales
Cet exercice croise ce chapitre avec le chapitre 3 : justifiez chaque réponse, sans vous contenter d'un oui ou d'un non.
- Les fractions 6/9 et 4/6 désignent-elles le même nombre ?
- Les fractions 3/7 et 4/8 désignent-elles le même nombre ?
- Un élève écrit 2/3 = 4/5 en expliquant qu'il a ajouté 2 en haut et 2 en bas. Où est l'erreur, et comment la lui montrer avec une droite graduée ?
Auto-évaluation du chapitre 4
Répondez sans revenir en arrière, puis comparez au corrigé.
- Quels sont les deux seuls gestes qui transforment une fraction en une fraction égale ?
- Comment sait-on qu'une fraction est arrivée à sa forme la plus courte ?
- Peut-on écrire 3/5 en septièmes ? Justifiez.
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- Multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par un même nombre non nul ne change pas sa valeur.
- Ajouter un même nombre aux deux termes change la valeur : ce geste n'existe pas.
- Une fraction possède une infinité d'écritures, et une seule forme la plus courte.
- Simplifier, c'est diviser les deux termes tant qu'un diviseur commun existe.
- On ne peut réécrire une fraction avec un dénominateur imposé que si ce dénominateur est un multiple du dénominateur de sa forme la plus courte : 18/24 s'écrit en quarts parce que sa forme la plus courte est 3/4, et 3/5 ne s'écrit pas en septièmes.