Chapitre 2 sur 14 · Les fractions
Chapitre 1. Partager un tout en parts égales
Une fraction naît d'un partage en parts égales : ce chapitre installe le tout de référence, la part, et les deux nombres qui écrivent une fraction.
Quand les nombres entiers ne suffisent plus
Prenez une ficelle et une règle graduée en centimètres. Tant que la ficelle mesure sept centimètres, huit centimètres ou douze centimètres, les nombres entiers suffisent. Mais si son extrémité tombe entre deux graduations, aucun nombre entier ne dit sa longueur. Il faut alors un nombre neuf, capable de désigner ce qui est plus grand que sept et plus petit que huit. Les fractions sont nées de ce besoin, et elles ne servent à rien d'autre : elles mesurent ce que les entiers laissent entre eux.
Le geste qui fabrique une fraction tient en deux temps. On prend un tout, et on le partage en parts toutes égales. Puis on prend un certain nombre de ces parts. Le résultat de ces deux gestes est une fraction, et la fraction se lit comme le compte rendu de ce qui vient d'être fait.
Ce chapitre ne demande rien d'autre que de savoir compter et de savoir plier une feuille en deux. Tout le reste du livre repose sur lui, et il vaut mieux le tenir vraiment que le tenir vite.
Ce que ce chapitre vous rend capable de faire
Quatre gestes, et chacun se vérifie sur une feuille de papier.
- Reconnaître un partage en parts égales et le distinguer d'un découpage quelconque.
- Nommer le tout de référence d'une situation avant d'écrire quoi que ce soit.
- Écrire et lire une fraction à partir d'un partage décrit en mots ou dessiné.
- Désigner le dénominateur et le numérateur d'une fraction, et dire ce que chacun apporte.
Ce chapitre est le premier du volume : il ne suppose lu aucun autre chapitre de ce livre. Il suppose seulement que vous savez compter et écrire des nombres entiers.
Le partage en parts égales, et la condition qui compte
Coupez une bande de papier en quatre morceaux au hasard. Vous obtenez quatre morceaux, et rien de plus : aucun de ces morceaux n'est un quart de la bande, parce qu'ils ne sont pas de la même taille. Recommencez en pliant la bande en deux, puis encore en deux, et coupez sur les plis. Cette fois les quatre morceaux se superposent exactement : chacun est un quart de la bande.
La condition d'égalité n'est pas un détail de vocabulaire, c'est ce qui rend le mot quart utilisable. Si les parts sont inégales, dire qu'on en prend une ne renseigne sur aucune quantité. Le premier geste devant une fraction consiste donc toujours à vérifier deux choses : de quel tout parle-t-on, et les parts sont-elles vraiment égales.
Une fois le partage fait, chaque part reçoit un nom qui vient du nombre de parts. Un tout partagé en deux donne des demis, en trois des tiers, en quatre des quarts, en cinq des cinquièmes, en dix des dixièmes, en cent des centièmes. Au-delà de quatre, le nom se fabrique toujours de la même façon : le nombre de parts, suivi de la terminaison ième.
Le tout de référence est aussi important que le partage lui-même. La moitié d'une feuille de cahier et la moitié d'un terrain de sport s'écrivent toutes les deux 1/2, et elles ne recouvrent pas la même surface. Une fraction ne dit jamais une quantité toute seule : elle dit une quantité par rapport à un tout, et ce tout doit être connu.
Les mots de ce chapitre
Chacun de ces mots sera employé tel quel jusqu'à la fin du volume.
- Le tout
- Ce qui est partagé, et à quoi la fraction se rapporte. Une bande de papier, une quantité de billes, une longueur, une durée, une somme d'argent. Rien n'oblige le tout à être un objet unique : quinze billes peuvent être le tout.
- La part
- Un des morceaux obtenus par le partage. Toutes les parts d'un même partage ont la même taille, et c'est cette égalité qui autorise à les nommer.
- Le dénominateur
- Le nombre écrit sous la barre, ou après la barre oblique. Il dit en combien de parts égales le tout a été partagé, et il donne donc son nom à la part. Son nom vient du latin et signifie celui qui nomme.
- Le numérateur
- Le nombre écrit au-dessus de la barre, ou avant la barre oblique. Il dit combien de ces parts on prend. Son nom signifie celui qui compte.
- La fraction unitaire
- Une fraction dont le numérateur vaut 1 : une seule part du partage. 1/2, 1/3, 1/4 et 1/10 sont des fractions unitaires. Elles sont la brique dont toutes les autres fractions sont faites.
Exemple travaillé. Écrire la fraction d'un partage décrit
Énoncé : une tarte est partagée en huit parts égales, et cinq parts sont servies. Quelle fraction de la tarte a été servie ?
- Nommer le tout
Le tout est la tarte entière, avant tout partage. C'est à elle que la fraction se rapportera, et pas à ce qui reste dans le plat. - Relever le nombre de parts du partage
La tarte est partagée en huit parts égales. Ce nombre, huit, est celui qui nomme la part : chaque part est un huitième de tarte. Il ira sous la barre. - Relever le nombre de parts prises
Cinq parts ont été servies. Ce nombre, cinq, compte les parts prises. Il ira au-dessus de la barre. - Écrire et lire la fraction
La fraction servie est 5/8, et elle se lit cinq huitièmes. En clair : la tarte a été partagée en huit parts égales, et l'on en a pris cinq. - Vérifier que la réponse a du sens
Cinq parts prises sur huit disponibles : c'est plus de la moitié, et moins que la tarte entière. La réponse est donc plausible, et cette vérification prend deux secondes.
Lire une fraction dans l'autre sens
Le même raisonnement fonctionne à l'envers, et c'est ce qui permet de dessiner ce qu'une fraction décrit. Devant 3/5, on lit d'abord le nombre du bas : cinq, donc le tout est partagé en cinq parts égales. On lit ensuite le nombre du haut : trois, donc on en prend trois. Un rectangle partagé en cinq bandes égales dont trois sont coloriées représente exactement 3/5 du rectangle.
Cet aller et retour entre l'écriture et la figure est le seul entraînement utile au début. Une fraction que l'on sait dessiner est une fraction que l'on a comprise ; une fraction que l'on sait seulement recopier ne sert à rien.
Voici quatre partages, décrits chacun de trois façons différentes. Les trois colonnes d'une même ligne disent la même chose, et il faut pouvoir passer de n'importe laquelle aux deux autres.
Faites maintenant le chemin vous-même sur un cas neuf : c'est l'exercice en chemin placé sous le tableau, et son corrigé attend en fin de volume, comme tous les autres.
| Écriture | Lecture à voix haute | Ce qui a été fait |
|---|---|---|
| 1/2 | un demi | Le tout est partagé en deux parts égales, on en prend une. |
| 2/3 | deux tiers | Le tout est partagé en trois parts égales, on en prend deux. |
| 3/4 | trois quarts | Le tout est partagé en quatre parts égales, on en prend trois. |
| 7/10 | sept dixièmes | Le tout est partagé en dix parts égales, on en prend sept. |
Exercice en chemin du chapitre 1. La ligne manquante du tableau
Posé au fil du chapitre : faites-le avant de poursuivre. Le nombre du bas est celui du partage, le nombre du haut est celui des parts prises.
- Un ruban est partagé en six parts égales, et l'on en prend quatre. Écrivez la fraction, dites-la à voix haute, puis écrivez la ligne du tableau qui correspond à ce partage.
Piège à connaître dès maintenant : une fraction n'est pas deux nombres écrits l'un au-dessus de l'autre, c'est un seul nombre. Le réflexe de traiter le numérateur et le dénominateur comme deux entiers indépendants est une des erreurs les plus fréquentes de tout le sujet, et elle produira plus tard des réponses fausses qui ont l'air de suivre une règle. Lisez toujours une fraction d'un seul tenant : trois quarts, et non trois puis quatre.
Exercice 1.1. Reconnaître un partage en parts égales
Répondez par écrit, en une phrase par question. Pliez une bande de papier si cela vous aide.
- Une baguette de pain est coupée en trois morceaux : un gros et deux petits. Peut-on dire que le gros morceau est un tiers de la baguette ? Justifiez.
- Une feuille est pliée en deux, puis chaque moitié est pliée en deux. Combien de parts obtient-on, et comment se nomme chacune ?
- Un jardin est partagé en six parcelles de même surface. Comment se nomme une parcelle par rapport au jardin entier ?
Exercice 1.2. Écrire une fraction à partir d'une situation
Écrivez la fraction demandée avec une barre oblique, puis écrivez-la en toutes lettres.
- Un ruban est partagé en dix parts égales, et l'on en prend trois. Quelle fraction du ruban prend-on ?
- Une plaque de chocolat compte douze carrés identiques. On en mange cinq. Quelle fraction de la plaque a été mangée ?
- Une heure est partagée en quatre parts égales de quinze minutes. Quelle fraction d'heure représentent trois de ces parts ?
Exercice 1.3. Nommer le tout, et voir pourquoi il compte
Ces trois questions portent sur le tout de référence. Répondez en nommant explicitement ce qui est partagé.
- Une classe compte vingt élèves ; cinq sont absents. Quel est le tout de référence, et quelle fraction de la classe est absente ?
- Deux personnes affirment chacune avoir mangé la moitié d'une pizza, et pourtant l'une a mangé beaucoup plus que l'autre. Comment est-ce possible ?
- Un litre d'eau est versé dans cinq verres identiques, remplis à ras bord. Quelle fraction du litre contient un verre, et quelle fraction contiennent trois verres ?
Auto-évaluation du chapitre 1
Répondez sans revenir en arrière. Si une réponse ne vient pas, l'objectif correspondant est à reprendre avant le chapitre suivant.
- Que faut-il vérifier avant d'appeler quart l'un des quatre morceaux d'un objet découpé ?
- Dans la fraction 7/9, lequel des deux nombres nomme la part, et lequel la compte ?
- Pourquoi deux personnes peuvent-elles écrire toutes les deux 1/2 en désignant des quantités très différentes ?
Ce qu'il faut retenir de ce chapitre
- Une fraction est le compte rendu de deux gestes : partager un tout en parts égales, puis prendre un certain nombre de ces parts.
- Le dénominateur, sous la barre, dit en combien de parts le tout est partagé : il nomme la part.
- Le numérateur, au-dessus de la barre, dit combien de parts on prend : il compte.
- Sans parts égales, il n'y a pas de fraction, seulement des morceaux.
- Une fraction ne veut rien dire tant que le tout de référence n'est pas connu.