Chapitre 13 sur 14 · Les fractions
Tables de référence
Quatre tables : les noms des parts, les fractions usuelles avec leur écriture à virgule, les premiers multiples, et la place de ce volume dans quatre systèmes scolaires francophones.
À quoi servent ces tables
Les trois premières tables ne contiennent aucune notion neuve : elles rassemblent, sous une forme consultable, des résultats déjà établis dans les chapitres. Les garder sous la main pendant un exercice n'est pas de la triche, c'est de l'économie d'attention : ce qui doit être cherché, c'est le raisonnement, pas la liste des multiples de sept. La quatrième est d'une autre nature : elle ne sert pas à calculer, mais à situer ce volume dans les systèmes scolaires de langue française.
Elles servent aussi de contrôle. Un résultat qui contredit une de ces tables est faux, et cela se voit en un instant. Les valeurs qu'elles portent ont toutes été établies par les méthodes du livre, et chacune peut être retrouvée sans elles.
| Le tout est partagé en | Chaque part se nomme | La fraction unitaire s'écrit |
|---|---|---|
| 2 parts | un demi | 1/2 |
| 3 parts | un tiers | 1/3 |
| 4 parts | un quart | 1/4 |
| 5 parts | un cinquième | 1/5 |
| 6 parts | un sixième | 1/6 |
| 10 parts | un dixième | 1/10 |
| 100 parts | un centième | 1/100 |
| 1000 parts | un millième | 1/1000 |
Au-delà de quatre, le nom de la part se fabrique toujours de la même façon : le nombre de parts, suivi de la terminaison ième, comme dans sixième, dixième ou centième. L'écriture s'ajuste parfois au passage : le e final de mille tombe dans millième, cinq prend un u dans cinquième, et le f de neuf devient un v dans neuvième. Seuls demi, tiers et quart échappent entièrement à cette construction, et ce sont les trois seuls noms à retenir tels quels.
| Fraction | Fraction décimale de dénominateur cent | Écriture à virgule |
|---|---|---|
| 1/2 | 50/100 | 0,5 |
| 1/4 | 25/100 | 0,25 |
| 3/4 | 75/100 | 0,75 |
| 1/5 | 20/100 | 0,2 |
| 2/5 | 40/100 | 0,4 |
| 1/10 | 10/100 | 0,1 |
| 3/10 | 30/100 | 0,3 |
| 1/3 | aucune écriture exacte en centièmes | aucune écriture à virgule finie |
La dernière ligne de cette table n'est pas un oubli. Une fraction s'écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres lorsque, sous sa forme la plus courte, son dénominateur divise une puissance de dix. C'est le cas de 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50 et 100 ; ce n'est pas le cas de 3, 6, 7 ou 9. La condition porte bien sur la forme la plus courte : 3/6 se simplifie en 1/2 et vaut donc 0,5, alors que son dénominateur de départ ne divisait aucune puissance de dix. Le chapitre 8 explique pourquoi, et l'oublier conduit à écrire de fausses égalités.
| Nombre | Ses premiers multiples |
|---|---|
| 2 | 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 |
| 3 | 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 |
| 4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 |
| 5 | 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72 |
| 7 | 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84 |
| 8 | 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 |
| 9 | 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108 |
| 10 | 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120 |
| 12 | 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 |
Se servir de la table des multiples
- Étape 1
Repérez les deux dénominateurs de votre calcul, et allez à leurs deux lignes.
- Étape 2
Parcourez les deux listes en parallèle, et arrêtez-vous au premier nombre qui figure dans les deux : c'est le plus petit dénominateur commun.
- Étape 3
Si aucun nombre commun n'apparaît dans les listes, multipliez simplement les deux dénominateurs entre eux : le produit convient toujours, quitte à simplifier le résultat à la fin.
Où ce volume se situe dans les systèmes scolaires francophones
Ce volume porte un palier, et ce palier dit ce que le livre fait dans une progression : il installe les gestes de base des fractions, sans rien supposer de connu du sujet. Il ne dit pas l'âge de qui le lit, et c'est délibéré. Une année scolaire ne recouvre ni le même âge, ni le même programme d'un pays à l'autre, et un livre calé sur un seul système serait faux partout ailleurs.
La table qui suit existe pour l'adulte qui prépare un cours et qui a besoin de savoir où ce contenu se range chez lui. Elle rapproche le contenu de ce volume des textes officiels de quatre systèmes de langue française, ouverts et vérifiés à leur adresse. Chacun de ces textes est cité au chapitre des sources, avec la date de consultation.
Elle se lit comme un repère, jamais comme un verdict. Un adulte qui reprend les fractions n'a pas de classe, et un enfant en avance ou en retard sur la table n'est ni l'un ni l'autre : ce sont les gestes du chapitre 1 qui disent où commencer, pas cette page.
| Système | Années concernées | Ce que le texte officiel y place |
|---|---|---|
| France | Les trois années du cycle 3 : cours moyen première année, cours moyen deuxième année, classe de sixième. | Fractions de dénominateur jusqu'à 20 la première année, jusqu'à 60 la deuxième ; encadrement entre deux entiers, comparaison, addition et soustraction ; la troisième année ajoute le lien avec la division, l'égalité de fractions et la multiplication par un entier. |
| Belgique, Fédération Wallonie-Bruxelles | De la troisième à la sixième année primaire du tronc commun. | Tiers, sixièmes et huitièmes, fractions équivalentes et simplification en troisième année ; dixièmes, vingtièmes et centièmes, mise en ordre et entrée dans les nombres décimaux en quatrième ; fractions supérieures à l'unité en cinquième ; transformation d'une grandeur fractionnée en une équivalente en sixième. |
| Québec | Les six années du primaire, la progression étant répartie année par année. | Le tableau des fractions couvre le rôle du numérateur et du dénominateur, la lecture et l'écriture, la comparaison à 0, à un demi et à 1, l'équivalence de deux fractions, la mise en ordre à dénominateur égal puis à numérateur égal, et le repérage sur une droite numérique. |
| Suisse romande | Le deuxième cycle du Plan d'études romand, années 5 à 8. | Les nombres rationnels positifs entrent au domaine numérique de travail en septième et huitième année ; la progression cite la comparaison et le classement de fractions unitaires ou de même dénominateur. |
Cette table ne couvre que les quatre systèmes dont les textes officiels ont pu être ouverts et lus à leur adresse au jour indiqué au chapitre des sources. D'autres pays et territoires de langue française enseignent les mêmes notions sous d'autres noms d'années : leur correspondance n'est pas écrite ici, parce que la maison ne publie pas une équivalence qu'elle n'a pas vérifiée. C'est le seul endroit de ce volume où des noms de classes nationaux apparaissent, et c'est voulu : partout ailleurs, le livre parle de ce qu'il installe, jamais de l'âge de qui le lit.
Ce que ces tables ne remplacent pas
- Le raisonnement : une table donne un résultat, elle ne dit jamais pourquoi il est juste.
- Le contrôle par estimation : une valeur lue dans une table peut avoir été lue sur la mauvaise ligne.
- La méthode générale de mise au même dénominateur, qui fonctionne même quand les nombres sortent de ces listes.
- Un programme officiel : la table des correspondances situe ce volume, elle ne dit pas ce qu'un système attend d'un élève à une date donnée.